Форма реальности. Скрытая геометрия стратегии, информации, общества, биологии и всего остального

Однако с педагогической точки зрения такой ответ, на мой взгляд, довольно плох. Если в классе мы будем тратить время на доказательство вещей, которые кажутся очевидными, и настаивать на том, что они неочевидны, наши ученики будут кипеть от возмущения, как когда-то я, или найдут себе занятия поинтереснее, когда преподаватель отвернется.

Мне нравится, как мастер преподавания Бен Блюм-Смит описывает эту проблему: чтобы учащиеся действительно ощутили огонь математики, им надо испытать градиент уверенности[55], [56] – ощущение перехода от чего-то очевидного к чему-то неочевидному, подталкиваемое вверх двигателем формальной логики. В противном случае мы говорим: «Вот список аксиом, которые выглядят совершенно правильными; складывайте их, пока не получите другое утверждение, которое выглядит совершенно правильным». Это все равно что обучать кого-нибудь лего, показав, что из двух маленьких кирпичиков можно сделать один большой. Вы можете это сделать, а иногда вам действительно нужно это сделать, но суть лего, конечно, не в этом.

Вероятно, лучше самому почувствовать градиент уверенности, чем говорить о нем. Для этого подумайте на миг о прямоугольном треугольнике.

Начнем с интуитивного ощущения: если горизонтальная и вертикальная стороны определены, то известна и диагональ. Если вы пройдете 3 километра на юг, а потом 4 километра на восток, то однозначно удалитесь от исходной точки на какое-то конкретное расстояние.

Но на какое? Для этого нужна теорема Пифагора – первая реальная теорема геометрии. Она говорит, что если a и b – горизонтальная и вертикальная стороны прямоугольного треугольника, а c – диагональ (так называемая гипотенуза), то

a² + b² = c².

Если a = 3, а b = 4, то c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25. Мы знаем, какое число при возведении в квадрат дает 25: это число 5. Оно и есть длина гипотенузы.

Почему эта формула верна? Вы можете начать подниматься по градиенту уверенности, нарисовав треугольник со сторонами 3 и 4 и измерив его гипотенузу, она будет близкой к 5. Затем нарисуйте треугольник со сторонами 1 и 3 и измерьте его гипотенузу; если вы обращались с линейкой достаточно внимательно, то получите что-то близкое к числу 3,16, которое при возведении в квадрат дает 1 + 9 = 10. Благодаря этим примерам уверенность увеличится, но это еще не доказательство. А вот это уже оно:

Большой квадрат на обоих рисунках одинаков, но разбит на части двумя разными способами. На первом чертеже четыре копии нашего прямоугольного треугольника и квадрат со стороной c. На втором – тоже четыре копии, но иначе расположенные: остаток квадрата теперь занимают два меньших квадрата со сторонами a и b. Площадь, которая остается в большом квадрате после убирания четырех треугольников, должна быть одинаковой в обоих случаях, а значит, c² (площадь, оставшаяся на первом чертеже) будет равна a² + b² (площадь, оставшаяся на втором чертеже).

При желании придраться можно пожаловаться на нестрогое доказательство того, что на первом рисунке квадрат (того, что длина сторон этой фигуры одинакова, недостаточно: сожмите пальцами противоположные углы квадрата – и получите фигуру под названием ромб: это явно не квадрат, но стороны по-прежнему равны). Но пусть так. До ознакомления с этой иллюстрацией у вас нет оснований считать, что теорема Пифагора верна, но, увидев ее, вы поймете, почему теорема верна. Подобные доказательства, когда геометрическая фигура разрезается на части, которые потом переставляются, называются доказательствами разрезания и ценятся за ясность и изобретательность. Математик и астроном XII века Бхаскара[57] показывает такую форму доказательства теоремы и находит изображение настолько убедительным, что для него не требуется словесное пояснение, просто подпись в виде одного слова «Смотри!»[58]. Любитель-математик Генри Перигал в 1830 году придумал собственное доказательство разрезанием, когда пытался, подобно Линкольну, квадрировать круг; он настолько высоко ценил свою схему[59], что спустя почти шестьдесят лет завещал вырезать ее на своем надгробии.

ЧЕРЕЗ МОСТ ОСЛОВ

Нам нужно знать, как решать геометрические задачи чисто формальными выводами, однако геометрия – это не просто последовательность чисто формальных выводов. Если бы это было так, то это был бы не лучший способ научить искусству систематических рассуждений в сравнении с тысячей других вещей. Мы могли бы объяснять шахматные задачи или судоку. Или создать систему аксиом, вообще не имеющую никакого отношения к какой-либо области человеческой деятельности, и заставлять учащихся выводить из нее следствия. Но вместо всего этого мы преподаем геометрию, поскольку она – формальная система, которая не просто формальная система. Она встроена в наши представления о пространстве, положении и движении. Мы не можем не быть геометрическими. Иными словами, у нас есть интуиция.