Форма реальности. Скрытая геометрия стратегии, информации, общества, биологии и всего остального

Мы уже обращались к этому факту, когда угол между двумя сторонами был прямым, но я думаю, что и в случае произвольного угла это кажется столь же понятным.

(Кстати, справедливо и следующее: если три стороны двух треугольников равны, то и треугольники равны; например, если длины сторон 3, 4 и 5 равны, то треугольник должен быть прямоугольным, как я нарисовал выше. Однако это менее очевидно, что Евклид и доказал несколько позднее: Предложение I.8. Если вам кажется, что это очевидно, подумайте о четырехугольнике: вспомните ромб, с которым мы недавно встречались, – у него такие же стороны, как у квадрата, но он же не квадрат.)

А теперь перейдем к pons asinorum. Доказательство в два столбца может выглядеть так:

[63]

Да, мы посреди доказательства, но у нас новая точка и новый отрезок AD, так что лучше обновить чертеж! Кстати, вспомните, что, по нашему предположению, треугольник равнобедренный, поэтому длина AB и AC одинакова; сейчас мы это используем.

QED[64].

Это доказательство посерьезнее, чем то, что мы видели, поскольку тут вам действительно приходится что-то делать: вы проводите новую линию L и придумываете название D для точки, где L пересекает BC. Это позволяет вам воспринять точки B и C как углы двух новых треугольников ABD и ABC, которые, как мы продемонстрируем далее, равны.

Однако существует и более хитрый способ, изложенный примерно через шестьсот лет после Евклида Паппом Александрийским, еще одним геометром из Северной Африки, в трактате Συναγωγή («Математическое собрание»). (Слово «синагога» означает «собрание», и в античном мире оно могло обозначать собрание математических предложений, а вовсе не собрание евреев на молитву.)

Погодите, что произошло? Казалось бы, мы ничего не делали, а нужное заключение появилось просто из ниоткуда, как кролик, выпрыгивающий при отсутствии шляпы. Это создает определенное беспокойство. Это не то, что понравилось бы Евклиду. Но так или иначе, на мой взгляд, это верное доказательство.

Ключ к идее Паппа – предпоследняя строка: треугольники BAC и CAB конгруэнтны. Кажется, что это просто утверждение о равенстве треугольника самому себе, которое выглядит тривиальным. Но присмотритесь более внимательно.

Что на самом деле мы имеем в виду, говоря, что два разных треугольника PQR и DEF конгруэнтны?

А вот что! Мы утверждаем сразу шесть вещей: длина PQ равна длине DE, длина PR равна длине DF, длина QR равна длине EF, угол P равен углу D, угол Q равен углу E, угол R равен углу F.

Конгруэнтен ли треугольник PQR треугольнику DFE? Нет, потому что на рисунке длина стороны PQ не равна длине соответствующей стороны DF.

Если мы серьезно воспринимаем определение конгруэнтности (а для нас, геометров, принимать определения всерьез – в некотором роде фирменная фишка), то треугольники DEF и DFE не конгруэнтны, несмотря на то что это один и тот же треугольник. Потому что DE и DF имеют разную длину.

Однако в нашем доказательстве с мостом ослов треугольник равнобедренный, а потому, когда мы воспринимаем его как треугольник BAC, он в точности тот же, что и в случае, когда мы его рассматриваем как треугольник CAB. Это не тривиальное утверждение. Если я говорю, что имя АННА читается одинаково в обоих направлениях, я в действительности сообщаю вам тот факт, что это палиндром. Возражать против самой концепции палиндрома, заявляя: «Ну конечно, это одно и то же, там две буквы А и две буквы Н, а порядок не важен», – чистое извращение.

На деле слово «палиндромный» было бы хорошим названием для треугольников типа BAC, который конгруэнтен треугольнику CAB, получаемому при записи вершин в обратном порядке. Именно благодаря такой идее Папп и сумел пройти через мост, не прибегая к дополнительным линиям и точкам.

И все же доказательство Паппа не вполне объясняет, почему равнобедренный треугольник имеет два равных угла. Представление о палиндромности равностороннего треугольника, то есть о том, что он остается таким же при записи вершин в обратном порядке, говорит вам то же, что (я уверен) и ваша интуиция: треугольник остается неизменным, когда вы берете его, переворачиваете и кладете обратно на то же место. Как и слово-палиндром, он обладает симметрией. Вот почему нам кажется, что углы должны быть равны.