Форма реальности. Скрытая геометрия стратегии, информации, общества, биологии и всего остального

На уроках геометрии нам обычно не разрешают говорить о переворачивании фигур[65], хотя делать это нужно. С какими бы абстракциями мы ни имели дело, математика – это то, чем мы занимаемся с помощью нашего тела. И прежде всего – геометрия. Иногда буквально: каждый математик обнаруживал, что рисует невидимые фигуры с помощью жестов, и как минимум одно исследование[66] показало, что дети, которым предлагали представить геометрическую задачу в движениях, чаще приходили к верному заключению[67]. Говорят, сам Пуанкаре в геометрических рассуждениях полагался на свое чувство движения. Он не был визуалом и плохо запоминал лица и фигуры, поэтому, когда ему требовалось[68] нарисовать картинку по памяти, он, по его словам, вспоминал не то, как она выглядела, а то, как по ней двигался его взгляд.

РАВНОБЕДРЕННОСТЬ

Что означает слово «равнобедренный» в названии треугольников? Прежде всего то, что две его стороны равны. В греческом языке используется слово σκέλη (скеле), что значит «ноги», отсюда и английское isosceles. В китайском слово составлено из иероглифов равный и талия, на русском языке у такого треугольника равные бедра, а на иврите – равные голени. В любом случае мы, похоже, согласны с тем, что быть равнобедренным означает иметь две равные стороны. Но почему? Почему бы не определить равнобедренный треугольник как треугольник, у которого равны два угла? Вы, вероятно, заметили (а весь смысл pons asinorum в том, чтобы это доказать!), что равенство двух сторон означает равенство двух углов, и наоборот. Другими словами, эти два определения эквивалентны и задают одно и то же множество треугольников. Но я бы не сказал, что это одно и то же определение. Существуют и другие варианты. Более современно было бы определить равнобедренный треугольник как палиндромный: треугольник, который вы можете взять, перевернуть, положить обратно, и он при этом не изменится. То, что у такого треугольника будут две равные стороны и два равных угла, следует почти автоматически. В этом геометрическом мире рассуждение Паппа показывало бы, что треугольник с двумя равными сторонами равнобедренный, а треугольники BAC и CAB совпадают.

Хорошее определение – то, которое проливает свет на ситуации, выходящие за рамки того, для чего оно было придумано. Идея, что равнобедренный означает не изменяющийся при переворачивании, дает нам хорошее представление о том, что такое равнобедренная трапеция или равнобедренный пятиугольник. Вы могли бы сказать, что равнобедренный пятиугольник – тот, у которого две стороны равны, но тогда вы соглашаетесь на перекошенные обвисшие пятиугольники наподобие этого:

Но хотите ли вы этого? К определению «равнобедренный» явно лучше подходит вот такой симпатичный пятиугольник:

И в самом деле, в школьном учебнике равнобедренная трапеция – это не фигура с двумя равными сторонами или двумя равными углами, а фигура, которую можно перевернуть, и она не изменится. Сюда прокралось постевклидово понятие симметрии, потому что наши мозги устроены так, что его замечают. Все чаще и чаще идея симметрии становится основанием для доказательств на уроках геометрии. Это не Евклид, но именно такова сейчас геометрия.

Глава 2. Сколько отверстий в соломинке?

Всем, кто профессионально занимается математикой, всегда приятно, когда весь интернет день или два решает какую-нибудь математическую задачку. Мы наблюдаем, как другие люди открывают для себя тот способ мышления, которым мы упиваемся всю жизнь (и наслаждаются им). Когда у вас красивый дом, вы ведь, как правило, радуетесь неожиданным визитам гостей.

Задачи, которые захватывают людей, обычно интересны, хотя на первый взгляд могут показаться пустячными. Привлекает и удерживает внимание именно ощущение встречи с реальной математической проблемой.

Например: сколько отверстий в соломинке?

Большинство из тех, кому я задавал этот вопрос, считают ответ очевидным. И бывают крайне удивлены, а иногда даже расстроены, когда узнают, что есть люди, чей очевидный ответ отличается от их собственного.

Насколько я могу судить, впервые вопрос об отверстиях в соломинке появился в статье[69] супругов Стефани и Дэвид Льюис, вышедшей в 1970 году в журнале Australasian Journal of Philosophy: обсуждаемым трубчатым объектом был рулон бумажных полотенец. Затем этот вопрос всплыл[70] в 2014 году в виде опроса на каком-то форуме бодибилдеров. Аргументы на форуме отличались по тону от аргументов из философского журнала, но общие контуры полемики оказались довольно сходными: все ответы «ноль отверстий», «одно отверстие» и «два отверстия» имели определенное обоснование.