Форма реальности. Скрытая геометрия стратегии, информации, общества, биологии и всего остального

«Замечательная теорема» гласит: если вы можете спроецировать одну поверхность на другую таким образом, чтобы геометрия оставалась неизменной (иными словами, если вам разрешено изгибать ее и крутить, но не растягивать), то кривизна должна остаться той же самой. Апельсиновая корка – это кусок сферы, а потому имеет положительную кривизну, следовательно, вы не можете расплющить ее на плоскости, ведь у плоскости кривизна нулевая. А кусок пиццы, вырезанный из плоского круга, имеет нулевую кривизну, и его можно свернуть в цилиндрическую форму нулевой кривизны, загнув кончик:

или завернув с обоих краев:

Однако нельзя сделать и то и другое одновременно[508], поскольку получится чипс. Пицца – это не чипс, и ее нельзя сделать чипсом, поскольку кривизна чипса отрицательная, а не нулевая. Вот почему, когда вы идете по Амстердам-авеню с только что купленным куском пиццы, вы загибаете его края вверх: потому что кривизна пиццы и теорема Гаусса не дадут кончику пиццы загнуться вниз, и горячий сыр не капнет вам на рубашку.

Совершенно не обязательно понимать всю замечательность «замечательной теоремы», чтобы осознать, что нельзя получить карту сферической Земли, которая удовлетворяла бы всем вашим геометрическим требованиям. Эта проблема отражена еще в старой загадке. Охотник проснулся, вылез из палатки и стал искать медведя. Он прошел десять километров на юг – медведя нет; прошел десять километров на восток – медведя тоже нет; прошел десять километров на север и увидел медведя прямо перед своей палаткой.

Вопрос: какого цвета был медведь?

Если вы не знаете этой загадки, вот другая версия. Начните путешествие из Либревиля в Габоне примерно на экваторе, двигайтесь строго на север до Северного полюса, поверните на 90 градусов направо и возвращайтесь на юг, пока не наткнетесь на экватор около городка Батаан на Суматре; наконец, снова поверните на 90 градусов направо и двигайтесь по экватору на запад на четверть его длины, пока не вернетесь обратно в Либревиль.

Вспомните, что наша воображаемая идеальная проекция должна использовать дуги большого круга в качестве прямых. Пройденный путь полностью состоял из дуг больших кругов, поэтому на нашей воображаемой идеальной карте он должен отображаться тремя отрезками, то есть быть треугольником. Однако идеальная карта должна сохранять углы, а мы поворачивали под углом в 90 градусов, значит, и на карте должны получить углы по 90 градусов. Однако треугольник на плоскости не может иметь три прямых угла, так что наша мечта об идеальной карте не сбылась.

Ах да, медведь был белым. Поскольку при описанных условиях палатка должна находиться на Северном полюсе[509], так что это был полярный медведь.

(Ха!)

КАКОЕ У ВАС ЧИСЛО ЭРДЁША – БЕЙКОНА?

При переходе от геометрии плоской карты к геометрии сферы уже появляется довольно богатая математика. Однако давайте обратимся к еще более радикальным отклонениям от книги Евклида. Как насчет геометрии кинозвезд? Я не об изгибах и плоскостях их тел (хотя о них написано предостаточно), а о сети, которую образуют их связи при совместной работе. Чтобы актеры обладали геометрией, нам нужна метрика, показывающая, насколько далеко они отстоят друг от друга. Для этого введем расстояние по совместному участию в фильмах. Будем считать, что между двумя актерами есть соединяющее звено, если они снимались в одном фильме. Джордж Ривз снимался в фильме «Отныне и во веки веков» вместе с Джеком Уорденом. Уорден сыграл вместе с Киану Ривзом в фильме «Дублеры». Следовательно, расстояние между Джорджем Ривзом и Киану Ривзом равно 2. Строго говоря, максимум 2, ведь нам надо проверить, нет ли между ними более короткого пути в одно звено (если бы они снимались в одном фильме). Впрочем, Джордж Ривз умер за пять лет до рождения Киану, так что расстояние действительно равно 2.