Фрактальная геометрия природы

Третий персонаж, не получивший широкой известности ни при жизни, ни посмертно, играет в нашей истории вторую по значимости после Вейерштрасса роль. Шарль Селлерье (1818 – 1890) преподавал в Женеве и не опубликовал ничего сколько-нибудь заметного, однако в бумагах, оставшихся после его смерти, обнаружилось неожиданное «откровение». Одна из папок, недатированная, но помеченная «Очень важно и, полагаю, ново. Проверено. Можно публиковать в настоящем виде», содержала рукописный текст, описывающий предельный случай D=1 функции, идентичной функции Вейерштрасса, с известными выводами. Пожелтевшие страницы показали некоему ученому по фамилии Кайе, который добавил к тексту примечание (откуда, собственно, и взяты вышеприведенные сведения) и незамедлительно опубликовал его в виде статьи [73]. Публикация вызвала некоторый умеренный интерес (особенно со стороны Грейс С. Юнг). В 1916 г. Рауль Пикте вспоминал, что когда он был студентом у Селлерье (приблизительно в 1860 г.), тот упоминал на занятиях об этой своей работе. Письменных свидетельств, однако, не сохранилось, и в итоге первенство Селлерье так и осталось недоказанным.

Таким образом, Вейерштрасс – единственный законный претендент, и некому оспорить правомочность именования рассматриваемой функции в его честь, однако в свете известных нам весьма странных событий здесь есть над чем поразмыслить. Больцано и в самом деле опубликовал некое выражение, полагая его безобидным, но двое других – скромный провинциал, которому незачем было беспокоиться за свою научную репутацию по причине полного отсутствия таковой, и гроссмейстер, который, скорее всего, ясно осознавал, что его научную репутацию ничто запятнать не сможет, - несомненно понимали, что оказалось у них в руках, и все же предпочли промолчать и выждать. Принцип «публикуйся или пропадай» был им, судя по всему, чужд как ничто другое.

Поскольку функция Вейерштрасса часто используется в качестве аргумента в призывах к «разводу по обоюдному согласию» между математикой и физикой, представляется уместным упомянуть об отношении ее первооткрывателя к взаимосвязи между этими двумя путями постижения мира. Имя Вейерштрасса можно встретить в геометрической оптике (точки Юнга – Вейерштрасса на сферической линзе). Кроме того, в своей вступительной лекции в 1857 г. (выдержки из которой приводятся у Гильберта [214], том 3, с. 337 – 338) Вейерштрасс особо подчеркивал, что физикам не следует видеть в математике всего лишь вспомогательную дисциплину, а математикам не стоит рассматривать вопросы физиков, как удобные примеры к своим методам. «На вопрос, возможно ли в действительности извлечь что-нибудь полезное из абстрактных теорий, которыми, на первый взгляд, так увлечена современная [1857 г.] математика, можно ответить, что основываясь на одних только абстрактных умопостроениях, греческие математики вывели свойства конических сечений, причем случилось это задолго до того, как было установлено, что по траекториям, имеющим форму конических сечений, движутся планеты вокруг Солнца». Amen.

42 ЭПИЛОГ: ПУТЬ К ФРАКТАЛАМ

В эссе о фракталах, написанных мною в 1975 и 1977 г., не было ни вступительного слова, ни заключения. Нет их и в настоящем эссе, однако мне хотелось бы сказать кое-что еще. Теперь, когда фрактальная геометрия находится в опасной близости от черты, перейдя которую, она неминуемо превратится в упорядоченную и благопристойную науку, самое время занести на скрижали краткую историю ее невероятного зарождения. И добавить несколько слов о ее относительном вкладе в научное понимание, описание и объяснение природных феноменов. Пока новая геометрия наступает по всем фронтам от описания до объяснения (общего, как в главах 11 и 20, или учитывающего специфические особенности того или иного прецедентного исследования), неплохо было бы припомнить, почему необычное (и непопулярное) пренебрежение к объяснению посредством «моделей» с самого начала шло ей только на пользу.

К настоящему моменту читатель уже, несомненно, хорошо знает, что характерное для фракталов распределение вероятностей следует гиперболическому закону, и что в теории фракталов в изобилии встречаются и другие соотношения, основанные на степенных законах. Признав действительность масштабной инвариантности и тщательно исследуя ее геометрически-физические воплощения, мы вдруг открываем для себя такое множество увлекательнейших занятий, что мне кажется чрезвычайно странным, как еще вчера все эти богатейшие новые земли принадлежали мне одному (по крайней мере, такое создавалось впечатление). Вокруг моих новых земель располагалось множество населенных и освоенных участков, а некоторые смельчаки даже пробирались через границу, осматривались и уходили прочь – никто не оставался надолго.