Фрактальная геометрия природы

Теперь перед нами стоит задача распространить на данное обобщение рекурсии Коха концепцию размерности подобия. Предположим для начала, что некая стандартная евклидова фигура покрывается подобными ей частями, уменьшенными соответственно в r_m раз. При D=1 значение r_m должно удовлетворять равенству Σr_m=1; в общем случае евклидовы фигуры требуют равенства ∑r_m^D=1. Далее, для случая фрактальных кривых, которые могут быть разделены на равные части, уже знакомое нам условие Nr^D=1 также можно переписать как ∑r_m^D=1. Исходя из этих соображений, мы можем построить ренерирующую размерность функцию G(D)=∑r_m^Dи определить D как ее единственный действительный корень при G(D)=1. Остается выяснить, совпадает ли наша размерность D с размерностью Хаусдорфа-Безиковича. Да, совпадает — по крайней мере, во всех случаях, о которых мне известно.

Примеры. Размерность D кривой, представленной на рис. 87, несколько превышает размерность оригинальной кривой Коха ln4/ln3. Размерность D кривой, изображенной на рис. 88 вверху, немного не достигает 2. При D→2 береговая линия этого острова стремится к кривой Пеано-Пойа, одной из кривых Пеано, рассматриваемых в следующей главе. Сходство между этой фигурой и рядом деревьев не случайно, как будет показано в главе 17. Наконец, кривая на рис. 88 внизу имеет размерность D лишь чуть больше 1.

7 ПОКОРЕНИЕ ЧУДОВИЩНЫХ КРИВЫХ ПЕАНО

Обсуждая в предыдущей главе обобщенные кривые Коха без самопересечений, мы не случайно ограничились значениями D<2. Когда размерность D достигает 2, фрактальные кривые претерпевают значительные качественные изменения.

Будем исходить из предположения, что терагоны не имеют самопересечений, хотя самокасание допускается. В этом случае одним из признаков достижения размерности D=2 можно считать то, что точки самокасания становятся асимптотически неизбежными. Главным же признаком является неизбежность заполнения предельной кривой некоторой «области» плоскости, т. е. некоторого множества, состоящего из дисков (заполненных окружностей).

Это двойственное заключение не является следствием пока еще поправимой нехватки воображения со стороны математиков. Оно проистекает из одного фундаментального принципа, сыгравшего центральную роль в кризисе математики 1875 - 1925 гг.

«КРИВЫЕ» ПЕАНО, ДВИЖЕНИЯ И ПРОХОЖДЕНИЯ

Упомянутые предельные кривые, представленные на иллюстрациях в конце главы, называются кривыми Пеано, поскольку первая из них была построена Пеано в 1890 г. [465]. Их также называют заполняющими плоскость. Для таких кривых остается справедливым формальное определение размерности lnN/ln(1/r)=2, хотя и не из тех соображений, из каких нам хотелось бы. С математической точки зрения, кривая Пеано — всего лишь несколько необычное представление области или участка плоскости, а все классические определения единодушны в том, что размерность такого участка равна 2. Иными словами, человеку благоразумному следует избегать употребления термина кривая, заполняющая плоскость.

К счастью, большая часть «кривых» Пеано, включая и полученные путем рекурсивного построения Коха, поддается естественной параметризации с помощью скалярной величины t, которую можно назвать «временем». Имея дело с такими кривыми, мы вполне можем (не опасаясь ревнителей математической строгости) использовать термины «движения Пеано», «заполняющие плоскость движения», «движения, проходящие по всем плиткам» или просто «прохождения по плиткам» (о плитках и пертайлинге мы поговорим позже в этой же главе). И мы не замедлим воспользоваться этими терминами, когда наступит подходящий момент; хочу только напомнить, что жанр эссе, согласно своей специфике, ни в коей мере не подразумевает полного освещения того или иного вопроса.

КРИВЫЕ ПЕАНО В РОЛИ ЧУДОВИЩ

«Все шатается и рассыпается! Очень трудно передать словами тот эффект, который произвели результаты [Джузеппе] Пеано на все математическое сообщество. Такое ощущение, что кругом одни развалины, что все математические концепции внезапно потеряли всякий смысл» [573]. «[Движение Пеано] невозможно представить себе интуитивно; его можно понять лишь с помощью логического анализа» [190]. «Некоторые математические объекты — такие, например, как кривая Пеано — совершенно противоречат здравому смыслу... просто нелепы» [109].

ИСТИННАЯ ПРИРОДА КРИВЫХ ПЕАНО

Я утверждаю, что приведенные цитаты лишь доказывают тот факт, что ни один из тех математиков так и не удосужился тщательно рассмотреть аккуратно построенную кривую Пеано. Кто-нибудь менее добродушный мог бы сказать, что эти цитаты демонстрируют полное отсутствие геометрического воображения.