Фрактальная геометрия природы

Я также утверждаю, что после внимательного и непредвзятого изучения и осмысления терагонов Пеано становится весьма затруднительным и дальше не видеть связи между ними и разнообразными природными проявлениями. Эта глава посвящена кривым без самопересечений, т. е. кривым, терагоны которых избегают самокасаний. В главе 13 мы поговорим о кривых с умеренным числом самокасаний. Первыми на предмет устранения самокасаний следует рассмотреть терагоны, заполняющие решетку (например, прямые с целочисленными координатами, параллельные координатным осям).

РЕКИ И ДРЕВОВИДНАЯ СТРУКТУРА ВОДОРАЗДЕЛОВ

Изучая всевозможные терагоны Пеано, я обратил внимание на то, что каждый из них представляет собой некоторую комбинацию из двух деревьев (или двух скоплений деревьев), допуская бесконечное разнообразие конкретных интерпретаций. Особенно хорошо эти деревья видны на «прохождении снежинки» — кривой Пеано моего изобретения (см. рис. 105). Глядя на рисунок, мы легко можем представить себе, что там изображено, скажем, скопление кустарников, растущих из нижней трети снежинки Коха и взбирающихся по ее стенкам. Другому эта картинка может показаться похожей на нарисованную плохо очиненным карандашом карту бассейна какой-нибудь большой реки — многочисленные мелкие притоки сливаются в более крупные и в конце концов вливаются в главную реку, протекающую вдоль нижней трети снежинки. Из последней интерпретации немедленно следует, что кривые, отделяющие реки друг от друга, составляют в совокупности древовидный водораздел. Разумеется, реки и водоразделы могут меняться местами.

Какой бы простой и очевидной ни казалась эта новая водораздельно- речная аналогия, она оказалась возможной только после того, как мы перестали считать кривые Пеано чем-то заведомо патологическим. В самом деле, если мы хотим, чтобы древовидная структура, составленная из рек исчезающей ширины, собрала всю воду с некоторого участка, ей просто не остается ничего другого, как проникнуть во все точки этого участка. Всякий, кто отправится прогуляться по берегам всех рек данной системы, совершит заполняющее плоскость путешествие. Не верите? Спросите у любого ребенка!

Вооружившись интуицией, подкрепленной рис. 104, мы с легкостью обнаружим аналогичные сопряженные конструкции во всех тера- гонах Пеано. Даже грубый остров с рис. 95 приобретает в этом свете некое осмысленное содержание. Пронизывающие его тонкие ленты воды нельзя принять за фьорды, как бы мы ни напрягали наше воображение, однако их вполне можно рассматривать как речную систему.

Когда из изучения рек вырастет настоящая наука, ее следует назвать потамологией — термин, созданный Морисом Парде. Однако, по трезвом размышлении, приходится признать, что изучение рек — это лишь часть более общей науки о воде, гидрологии, во владения которой на протяжении этого эссе мы еще не раз наведаемся.

НЕИЗБЕЖНЫЕ КРАТНЫЕ ТОЧКИ ДЕРЕВЬЕВ И, КАК СЛЕДСТВИЕ, ДВИЖЕНИЙ ПЕАНО

Неожиданно находят очевидное объяснение и многие математические свойства кривых Пеано. Чтобы объяснить кратные точки, предположим, что некто начинает движение вдоль берега реки, являющейся частью дерева рек Пеано, и движется вверх или вниз по течению, обходя даже самые маленькие притоки (причем чем уже приток, тем быстрее движение). Очевидно, что в конечном счете наш путешественник придет в точку, которая находится на другом берегу напротив точки его отправления. А поскольку в пределе река бесконечно узка, то он по существу вернется в начальную точку. Таким образом, кратные точки на кривой Пеано представляются неизбежными не только с математически логической точки зрения, но и с позиций здравого смысла. Более того, эти точки всюду плотны.

Неизбежно также, что некоторые точки он посетит более чем дважды, так как в местах слияния рек совпадают по меньшей мере три береговых точки. Если все слияния ограничиваются только двумя реками, нет необходимости учитывать более чем тройную кратность. С другой стороны, если мы согласны иметь точки более высокой кратности, можно обойтись и без тройных точек.

Все утверждения, высказанные в предыдущих абзацах, доказаны, и, поскольку доказательства весьма деликатны и вызвали в свое время немало бурных дискуссий, сами свойства можно было бы, по всей видимости, отнести к «техническим подробностям». Если бы не одно «но». Кто теперь будет продолжать настаивать, что чисто логический подход к упомянутым свойствам имеет хоть какие-то преимущества перед моим интуитивным подходом, основанном на здравом смысле?