Фрактальная геометрия природы

В случае, если кривая Пеано представлена как общая граница между деревом рек и деревом водоразделов, пути, соединяющие точки P₁ и P₂, расположенные на противоположных берегах реки (т. е. вдоль водораздела), включают в себя наикратчайший общий путь. Представляется разумным при измерении расстояния между точками P₁ и P₂следовать как раз этим путем. Если не считать некоторых исключений, размерность D как дерева рек, так и дерева водоразделов строго меньше 2 и строго больше 1. Следовательно, наикратчайший путь нельзя измерить ни длиной, ни площадью, однако в типичных случаях он имеет нетривиальную хаусдорфову протяженность в размерности D.

И еще. Очень важные дополнительные соображения относительно движений Пеано подробно изложены в пояснениях к нижеследующим рисункам.

Рис. 95. КВАДРАТИЧНОЕ ПОСТРОЕНИЕ КОХА С РАЗМЕРНОСТЬЮ D=2: ОРИГИНАЛЬНАЯ КРИВАЯ ПЕАНО, ПРОХОЖДЕНИЕ КВАДРАТА

Заполняющая плоскость кривая Пеано, представленная на этом рисунке, является оригинальной кривой Пеано. Невероятно краткий алгоритм Джузеппе Пеано был графически воплощен в работе Мура [435] (которая получила, пожалуй, чрезмерно высокую оценку во «Фракталах» 1977 г.). На нашем рисунке кривая Пеано развернута на 45 градусов — тем самым эта «блудная» конструкция оказывается возвращенной в лоно кривых Коха, т. е. теперь генератор всегда одинаково размещается на сторонах терагона, полученного на предыдущем этапе построения.

Инициатором здесь выступает единичный квадрат (черный внутри), а генератор выглядит следующим образом:

Поскольку генератор — самокасающаяся кривая, получаемые в результате построения конечные острова Коха представляют собой скопления черных квадратов, словно вырезанных из бесконечной шахматной доски. После n-го этапа построения терагон Коха выглядит как решетка из прямых с шагом r) = эта решетка заполняет квадрат, площадь которого равна 2, причем плотность линий быстро возрастает по мере того, как k→∞ (вполне достаточный пример этого однообразного узора показан на рисунке рядом с исходным черным квадратом).

На трех верхних картинках двусмысленность самокасаний устранена путем срезания соответствующих углов с сохранением общей площади.

Если четвертый этап построения данной кривой изобразить в том же масштабе, то мы увидим лишь сплошной серый фон, однако увеличенное изображение одной четвертой части, получающейся в результате береговой линии, вполне можно проследить взглядом (рискуя, правда, заработать при этом морскую болезнь). Глядя на этот рисунок, понимаешь, что люди имеют в виду, когда говорят, что предельная кривая Коха заполняет плоскость.

Было бы замечательно, если бы мы смогли определить в этом случае предельный остров по аналогии с островами Коха в главе 6, однако здесь это, к сожалению, невозможно. Любая выбранная наугад точка почти наверняка будет бесконечно колебаться между сушей и морем. Терагоны на поздних этапах построения пронизаны бухтами или реками настолько глубоко и однородно, что суша и вода делят любой квадрат среднего размера x (такого, что η≤x≤1) практически пополам!

Интерпретация. Предельная кривая Пеано устанавливает непрерывное соответствие между прямой и плоскостью. Математическая неизбежность самокасаний — классический результат. Новым является тот факт, что самокасания играют важную роль в моделировании природных феноменов.

Дальний порядок. Не зная о нисходящих каскадах, ответственных за построение наших конечных кривых Пеано, можно только изумиться тому необычайному дальнему порядку, который позволяет этим кривым избегать не только самопересечений, но и самокасаний. Что касается последнего, то весь порядок вообще держится только на жесточайшей дисциплине: малейшее послабление — и все насмарку!

< А если совсем позабыть о дисциплине, то мы почти наверняка не получим ничего, кроме бесконечно повторяющихся самопересечений, поскольку полностью недисциплинированная кривая Пеано — это броуновское движение, о котором мы уже упоминали во второй главе и поговорим подробнее в главе 25.

Теорема Лиувилля и эргодичность. В механике принято представлять состояние сложной системы одной-единственной точкой в «фазовом пространстве». Известно, что в случаях применения к этому пространству уравнений движения каждая его область ведет себя следующим образом: ее протяженность (гиперобъем) остается инвариантной (теорема Лиувилля), однако ее форма меняется — область рассеивается и заполняет весь доступный объем с максимально возможной однородностью. Очевидно, что оба этих свойства находят отражение в том, как, с нашей легкой руки, ведет себя черный квадрат при построении кривой Пеано. Представляется интересным «копнуть» глубже и увидеть, что во многих упрощенных «динамических» системах, допускающих подробное изучение, каждая область рассеивается, трансформируясь во все удлиняющуюся и утончающуюся ленту. Интересно также было бы выяснить, не происходит ли дисперсия других систем по древовидным кривым Пеано вместо лент. ►