Фрактальная геометрия природы

Другие драконы. (См. [95].) Возьмем некоторую бесконечную последовательность x₁,x₂,..., где каждый x_k может быть либо 0, либо 1, и воспользуемся значением x_k для определения положения генератора при начальном отрезке на k-м этапе построения: если x_k=1, то первый генератор расположен справа, если же x_k=0, то первый генератор расположен слева. Каждая такая последовательность породит нового дракона.

Рис. 104 и 105. ПРОХОЖДЕНИЯ СНЕЖИНОК: НОВЫЕ КРИВЫЕ И ДЕРЕВЬЯ ПЕАНО (РАЗМЕРНОСТЬ ВОДОРАЗДЕЛОВ И РЕК D~1,2618)

На этих иллюстрациях представлено семейство кривых Пеано моего собственноручного изготовления. Они заполняют оригинальную снежинку Коха (см. рис. 74); тем самым оказываются сведены нос к носу два главных чудовища начала века.

Более важное их достоинство заключается в том, что одного взгляда на них достаточно для подтверждения справедливости одного из основных положений настоящего эссе: кривые Пеано ни в коем случае не являются математическими чудовищами, не допускающими никакой конкретной интерпретации. При отсутствии самокасаний кривые Пеано дают ясно видимую и легко интерпретируемую картину скопления сопряженных деревьев. Эти деревья представляют собой хорошие модели первого порядка для рек, водоразделов, настоящих деревьев и кровеносной системы человека.

Ко всему прочему, мы получаем здесь и замечательный побочный продукт: способ разбиения снежинки на меньшие неравные снежинки.

Семизвенный генератор. Инициатор остается неизменным [0,1], а генератор и второй этап построения выглядят следующим образом:

Чтобы быть более точными, обозначим изображенный выше генератор буквой S и назовем его прямым. Определим зеркальное отражение генератора S относительно прямой x=1/2 как обратный генератор F. На любом этапе построения прохождения снежинки можно использовать как S-, так и F-генераторы, на выбор. То есть каждая бесконечная последовательность символов S и F даст в результате новую кривую, заполняющую снежинку.

Сглаженные терагоны. Ломаные линии выглядят несколько грубовато, но вот если представить каждый отрезок в виде дуги в одну шестую окружности, то заполняющие снежинку терагоны будут выглядеть изотропными и вообще гораздо более «естественными».

Рис. 74. Давным-давно, еще на рис. 74, мы использовали продвинутый терагон семизвенного прохождения снежинки, сглаженного и закрашенного, для заполнения озера волнующейся водой. Теперь, когда мы снова рассматриваем эту картину, она ассоциируется у нас с жидкостью, текущей вдоль фрактальной границы, причем хорошо различимы два приблизительно параллельных потока, движущиеся с различными скоростями.

Тринадцатизвенный генератор. Изменим предыдущий генератор, состоящий из семи отрезков, заменив его пятое звено на уменьшенную копию всего генератора. Эта копия также может иметь S- и F- варианты. В последнем случае получим следующие генератор и второй этап построения:

Рис. 104. Этот продвинутый терагон, изображенный в виде границы между двумя причудливо переплетенным областями, лучше всяких слов объясняет значение термина «заполнение плоскости».

Рис. 105. Сгладим построенный выше 13-звенный генератор. Сгладим также и снежинку Коха. Первые этапы получаемого в результате построения приведены на рис. 105.

Размерности рек. Каждая отдельная река в оригинальной кривой Пеано имеет конечную длину и, как следствие, размерность 1. В данном случае размерность отдельных рек равна ln4/ln3. Для достижения размерности 2, все реки нужно рассматривать в совокупности.

Рис. 106 и 107. КРИВАЯ ПЕАНО-ГОСПЕРА. ЕЕ ДЕРЕВЬЯ И АНАЛОГИЧНЫЕ ДЕРЕВЬЯ КОХА (РАЗМЕРНОСТЬ ВОДОРАЗДЕЛОВ И РЕК D~1,1291)

К рис. 75. На этом рисунке не получившие в свое время объяснения тонкие ломаные линии представляют собой начальные этапы построения (с 1-го по 4-й) кривой Пеано в интерпретации Госпера (см. [163]). Это — первая кривая Пеано без самопересечений, полученная только методом Коха, без дальнейшей доработки.

Инициатор — отрезок [0, 1]. Генератор —

Если развернуть генератор против часовой стрелки так, чтобы его первое звено заняло горизонтальное положение, то становится видно, что он является частью треугольной решетки, занимая на ней 7 из 3х7 звеньев. Благодаря этой особенности треугольные решетки приобретают свойство, аналогичное описанному на с. 101 свойству квадратных решеток.

Теперь мы можем убедиться в том, что данная кривая Пеано действительно заполняет фигуру, ограниченную кривой Коха на рис. 75. Линия переменной толщины внутри кривой Коха на рис. 75 представляет собой результат пятого этапа настоящего построения.

Рис. 106, слева. Четвертый терагон кривой Госпера, перерисованный в виде границы между черной и белой областями.

Рис. 106, справа. Деревья рек и водоразделов. Изображены реки и водоразделы, проходящие по средним линиям черных и белых «пальцев» кривой, показанной на этом же рисунке слева.