Фундаментальная радиохимия

Важной особенностью взаиморасположения графиков является совпадение точки максимума активности (числа атомов) дочернего радионуклида и точки пересечения графиков A₁(t) и A₂(t) (так же и временных зависимостей N₁ и N₂). В этом можно убедиться, решив соответствующие уравнения: dA₂/dt=0 и A₁=A₂ откуда момент времени (t_max), соответствующий этой точке, определяется следующим образом:

. (1.20)

2. Подвижное равновесие

Это состояние в эволюции "генетической пары" достигается только при условии ₂ > ₁. В случае ₂< ₁ равновесие в любом смысле слова отсутствует, но соотношение (1.20) остается справедливым. Обозначим ₂ – ₁ = и преобразуем (1.11) следующим образом:

. (1.21)

По истечению некоторого времени вследствие монотонного убывания экспоненты можно сделать упрощение 1-е- t H1, приняв заранее определенный уровень погрешности. Но для абсолютного большинства практически интересных случаев можно условно допустить, что этот момент времени совпадает с t_max (см.(1.20)). После упомянутого упрощения соотношения (1.21) приобретают вид:

, (1.22)

т.е. отношение чисел атомов дочернего и материнского радионуклидов, равно как и значений их абсолютной активности, перестает зависеть от времени, inv (t), в то время как сами значения N₁ , N_2,, A₁ и A₂ продолжают явным образом зависеть от времени.

Таким образом, для "генетической пары" необходимым и достаточным условием наступления подвижного равновесия является неравенство ₂ > ₁ (или, что то же самое, T₂ < T₁). Это равновесие наступает не раньше прохождения дочерней активности через максимум и заключается в том, что осуществляются соотношения (1.22). Таким образом, рис.1.1 отражает изменение активности для генетически связанной пары радионуклидов для случая подвижного равновесия.

3. "Вековое" равновесие

Примем более жесткое условие неравенства: ₂ >> ₁ (Т₂<<Т₁), но при этом допустим, что период полураспада материнского радионуклида значим в геохронологическом отношении, т.е. уменьшение его активности в технологическом масштабе времени (несколько часов, суток, лет) на точность количественных оценок не влияет. Например, активность радионуклида калий-40 (Т = 1,32·109 лет) по истечению даже миллиона лет уменьшится всего лишь на 0,05%, а за сто лет и вовсе незначимо:5·10–6 %. На этом основании можно принять А₁H const, что позволяет еще более упростить (1.22) следующим образом:

. (1.23)

Графически установление векового равновесия для "генетической пары" изображено на рис.1.2.

Рис.1.2. Вековое радиоактивное равновесие при Т₁>>Т₂ : 1 – суммарная активность; 2 – активность дочернего радионуклида; 3 – активность материнского радионуклида.

Кинетика установления этого состояния однозначно описывается уравнениями (1.21), которые можно представить в более наглядной форме:

A₂ = A₁ (1–2-n) , (1.24)

где n = t/T₂ – протекшее время, выраженное в единицах периода полураспада дочернего радионуклида. Очевидно, что уже при n = 6 расхождение между A₂ и A₁ составляет всего лишь 1,56%, а при n = 10 менее 0,1%. Таким образом, для "генетической пары" необходимым и достаточным условием наступления векового равновесия является неравенство ₂ >> ₁ (Т₂<<Т₁) и практически незначимое уменьшение активности материнского радионуклида в технологическом масштабе времени, A₁ H const (материнский радионуклид должен быть настолько долгоживущим, чтобы оправдалось понятие "векового" равновесия). С погрешностью 1,56 % это равновесие наступает по истечению уже шести периодов полураспада дочернего радионуклида и выражается в равенстве активностей и практической независимости их от времени в технологическом масштабе.

1.3.8. Радиоактивные семейства ("цепочки") с произвольным числом генетически связанных радионуклидов

Решение этой задачи для семейства, состоящего из n радионуклидов, было дано Бейтманом в 1910 г. для случая: t = 0; N₀₂ = N₀₃ = … = N_0n = 0, т.е. для случая, когда в начальный момент времени существует только радиохимически чистый материнский радионуклид N₀₁ /= 0 ("родоначальник семейства") :

. (1.25)

Здесь – порядковый номер радионуклидa в семействе.

Из общей закономерности (1.25) можно вывести несколько упрощенных принципов:

1) Если в ряду радиоактивных превращений два относительно долгоживущих радионуклида (№ p и № q; T_p>T_q; _p < _q) отделены друг от друга несколькими актами распада и промежуточные радионуклиды (№ x; p) имеют гораздо большую вероятность распада, чем эти два (T_x << T_q), то радиоактивное равновесие в данном подсемействе (от № p до № q) будет определяться константами только этих двух радионуклидов (т.е. _p, _q).

Например, в природном подсемействе: