Фундаментальная радиохимия

Из последнего равенства ( = A/N) следует, что можно истолковать как меру, определяющую число актов распада, в единицу времени приходящееся на один атом (атомное ядро) в среднем. Эта мера и есть вероятность распада в единицу времени в собрании N атомов (ядер) в расчете на один атом (ядро).

Отсюда видно, что размерность величины – обратные секунды (с ^{– 1}). Табулируют значения констант радиоактивного распада обычно в этих единицах, но гораздо чаще прибегают к понятию «период полураспада» как к интуитивно более понятной величине. При этом выражают его в привычных и обозримых единицах, – от долей секунды до нескольких миллиардов и более лет.

Статистическое обоснование закона радиоактивного распада было предложено Э. Фон Швейдлером в 1905 году. Как только что было выявлено, каждое радиоактивное ядро имеет определенную вероятность распада, а константа и есть величина вероятности этого события. Можно показать, что из такого толкования радиоактивности непосредственно следует эмпирически установленный Резерфордом и Содди экспоненциальный закон распада.

Допустим, что вероятность испытать распад в течение некоторого промежутка времени t для всех ядер данного радионуклида равна величине w_t, которая пропорциональна только этому промежутку времени t, т.е. w_t = kt, где k – коэффициент пропорциональности. Вероятность же пережить этот промежуток времени (т.е. не распасться), как вероятность противоположного события, будет равна 1 – w_t = 1 – kt. Вероятность пережить некоторый больший промежуток времени t₁ = ht, где h – произвольное число, будет уже вероятностью сложного события (наступление h раз события, вероятность которого равна 1 – kt). Эта вероятность в соответствии с теоремой об умножении вероятности выразится следующим образом: w_t1 = (1 – w_t)^h = (1 – kt)^h.

Прологарифмируем это равенство: lnw_t1 = hln(1 – kt).

Пусть при постоянном значении t₁ = ht t стремится к 0. Тогда, полагая слагаемое kt величиной, пренебрежимо малой по сравнению с единицей, разлагая в ряд ln(1–kt) по малому параметру и ограничиваясь линейным членом разложения, получим:

lnw_t1 = – hkt = – kt₁.

Потенцируя это выражение и полагая, что в силу произвольности выбора отрезка времени t₁ индекс «1» не имеет значения, получим:

w_t = e ^{– kt}.

С другой стороны, вероятность атому (ядру) не распасться в течение времени t можно оценить как отношение числа «благоприятных» исходов к их общему числу (в течение времени t каждому атому можно поставить в соответствие только два исхода: он либо распадется, либо не распадется; последний исход и назван здесь «благоприятным»).

Иными словами, если в момент времени, выбранный как начальный (t = 0), существовало N₀ атомов радионуклида, то математическое ожидание числа атомов или среднее число атомов, не распавшихся за время t, будет равно:

N = w_t No= Ne^–kt, (1.17)

а это и есть одно из выражений закона радиоактивного распада (1.9); кроме того, становится очевидным, что коэффициент пропорциональности k, связывающий вероятность ядру испытать распад в течение промежутка времени t с его величиной, совпадает с константой радиоактивного распада как по статистическому смыслу, так и вследствие изоморфизма уравнений (1.9) и (1.17).

Таким образом, k = w_t/t A/N, что обсуждено выше (1.16).

1.3.5. Связь активности с массой

В химии гравиметрия («весовой анализ») является арбитражным аналитическим методом. Какими бы ни были методы анализа, применяемые в настоящее время (сейчас получили распространение физико-химические и физические методы), все они так или иначе, применительно к задачам количественного анализа, сводятся к необходимости использовать некоторые исходные вещества в качестве эталонов. Последние могут быть изготовлены с использованием, в конечном итоге, аналитических весов.

Но в ядерной физике и радиохимии гравиметрический метод совершенно не распространен главным образом вследствие того, что в подавляющем числе радиоаналитических задач (и, тем более, в радиоэкологии) имеют дело с такими массами радиоактивных веществ, которые находятся за пределом чувствительности даже наилучших весов. Тем не менее помимо установления абсолютной активности радионуклидов, что выполняется инструментально, бывает необходимо знать и их массу (концентрацию). Это достигается элементарным расчетом на основе соотношения (1.10):

где m – масса радионуклида (г), M – молярная масса радионуклида (г/моль);

N_A = 6,022045•10²³ моль^-1 – постоянная Авогадро.

Отсюда следует:

. (1.17)

(Здесь активность выражается в беккерелях, а период полураспада в секундах).

По этой формуле можно рассчитать массу, например, одного кюри любого радионуклида. Так, 1Kи ²³⁸ U (T_1/2 = 4,5•10⁹ лет) имеет массу около трех тонн, 1 Kи²²⁶Ra (T_1/2= 1600 лет) – 1 г (это так и должно быть, т.к. один грамм именно этого изотопа радия в свое время был выбран за эталон одного кюри).