Геометрическая рапсодия

Дуглас Хофстадтер не просто подмечает аналогию, но и использует ее для разрешения некоторых парадоксов познания. Он, в частности, приводит в своей книге диаграмму, схематически иллюстрирующую "спутанность" иерархий в системе "Рисующие руки". Тут нет обычных легкоразличимых уровней "рисующая" и "рисуемая" рука. Парадокс разрешается благодаря тому, что находится следующий, невидимый уровень, находящийся в ином по отношению к гравюре измерении: это сам Мауриц Корнелис Эсхер, ее создатель, который является "рисующим" по отношению к правой и левой руке, да и всей гравюре в целом. Ситуацию можно еще дополнительно "эсхеризировать", как предлагает автор книги: стоит лишь сфотографировать руку человека, рисующего гравюру "Рисующие руки".

Разговор о парадоксах подвел нас вплотную к смыслу аналогии между трудами Геделя, логика, и Эсхера, художника. Однако этот путь увел бы нас слишком далеко от нашей геометрической темы, хотя правда, пройдя его, мы сумели бы вновь вернуться к начальной точке, совершив еще одну "странную петлю". Поэтому, сознательно игнорируя серьезный разговор о теореме Геделя, позволим себе лишь высказать предположение, что и параллель "Гедель-Эсхер" тоже вполне обоснована некими глубинными структурами сознания и того и другого.

Ведь в чем суть геделевской "теоремы о неполноте"? Она утверждает, что система не может понять свое собственное устройство, если не поднимется на следующий уровень (это одно из возможных толкований). В чем здесь главное? В парадоксе. Сродни знаменитому высказыванию критянина Эпименида "Все критяне лжецы", про которое нельзя сказать, истинно оно или ложно. Так вот именно парадоксами столь богата жизнь самого Эсхера, а не только его гравюры. В самом деле, в школе он не успевал по математике, оставался даже на второй год — и именно математики находят в его гравюрах глубокий смысл и источник вдохновения. До сорока лет он беспрерывно путешествовал, а потом практически не покидал своего дома в Баарне до самой смерти. Он рисовал левой рукой, а писал — правой. Всю жизнь был убежденным атеистом и не раз позволял себе антиклерикальные высказывания (даже знаменитая гравюра "Поднимаясь и опускаясь" таит в себе плохо скрытое издевательство, поскольку "монашеский труд" по-голландски означает пустую, бессмысленную работу), но ближайшим другом его был бывший "брат Эрик" — монах-расстрига Ханс де Рийк. Можно ли удивляться, что такого человека тянуло к парадоксам и в искусстве? А если так, то незачем искать иных причин, почему творчество его оказалось сродни глубоким и парадоксальным идеям Геделя — идеям истинно философского звучания.

...И здесь, заключая рассказ о книге "Гедель, Эсхер, Бах: нескончаемая золотая цепь", хочется сказать несколько слов о связи между математикой и философией, потому что, быть может, именно этих рассуждений не хватает книге Хофстадтера, обнаружившего не лежащую на поверхности близость образов, созданных средствами музыки и графики, математическим идеям.

Математика и философия многие века шли рука об руку, более того они были, в сущности, нерасторжимы: философы считали себя математиками, математики рассуждали как философы. Но и разойдясь, они не утратили "взаимности": философы по-прежнему находили в математических абстракциях опору для своих выводов, а математики, как и раньше, нередко по самым разным поводам обращались к философии. В наше время связь эта приобрела особое значение. "Неожиданная, на первый взгляд, не заданная изначально приложимость законов математики к физическому миру многих сбила с толку. Отдельные теоретики... стали задаваться вопросом: а не был ли прав Платон в своем объективном идеализме? В самом деле: разрабатывается некий математический аппарат, а затем оказывается, что физическая реальность подчиняется его выводам и законам", — пишет в последнем августовском номере газеты "Правда" за 1984 год член-корреспондент АН СССР Ю. А. Жданов.

"Не заданная изначально приложимость законов математики к физическому миру" сбивала с толку не единожды и в прошлом, и не только философов платоновского плана, но и многих выдающихся и даже великих математиков — кстати, высказывания некоторых из них рассыпаны по страницам этой книги.

Легендарная надпись на вратах Академии, основанной Платоном почти две с половиной тысячи лет назад, гласила: "Негеометр да не войдет!". Казалось бы, какое право было у Платона на такие слова: что существенного сам он сделал для геометрии?