Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

4. Определите стороны треугольника, если медиана и высота, проведённые из вершины одного угла, делят этот угол на три равные части, а сама медиана равна 10 см.

Билет № 14

1. Векторы; действия с векторами. Скалярное произведение векторов.

2. Свойство медиан треугольника. Длина медианы.

3. Из одной точки проведены к окружности две касательные, каждая длиной 12 см. Расстояние между точками касания 14,4 см. Определите радиус окружности.

4. Площадь равностороннего треугольника, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, вдвое больше площади последнего. Определите углы прямоугольного треугольника.

Билет № 15

1. Признаки параллелограмма.

2. Теорема косинусов.

3. На основании равнобедренного треугольника, равном 8 см, как на хорде, построена окружность, касающаяся боковых сторон треугольника. Найдите радиус окружности, если длина высоты, опущенной на основание треугольника, равна 3 см.

4. В сектор с центральным углом в 60° вписан круг. При каком радиусе сектора площадь круга равна ??

Билет № 16

1. Критерий описанного около окружности четырёхугольника.

2. Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов I четверти.

3. В треугольнике ABC точка М – точка пересечения медиан. Выразите вектор AM через вектора АВ и АС.

4. Найдите площадь параллелограмма, если его диагонали равны 3 и 5, а острый угол параллелограмма – 60°.

Билет № 17

1. Геометрическое место центра вписанной в треугольник окружности.

2. Площадь параллелограмма.

3. Средняя линия трапеции равна 10 и делит площадь трапеции в отношении 3:5. Найдите длины оснований этой трапеции.

4. В треугольнике ABC проведены высоты AD и СЕ. Докажите, что треугольники ABC и DBE подобны. Чему равен коэффициент подобия?

Билет № 18

1. Теорема о разложении вектора по базису.

2. Докажите, что S = рr, где S– площадь треугольника, p – полупериметр треугольника, r – радиус вписанной окружности.

3. Известно, что в трапецию ABCD с основаниями AD и ВС можно вписать окружность и около неё можно описать окружность, EF – её средняя линия. Известно, что АВ + CD + EF = 18. Найдите периметр трапеции.

4. В равносторонний треугольник вписана окружность. Этой окружности и сторон треугольника касаются три малые окружности. Найдите сторону треугольника, если радиус малой окружности равен 1.

Билет № 19

1. Критерий вписанного в окружность четырёхугольника.

2. Площадь треугольника.

3. В параллелограмме ABCD длина диагонали BD, перпендикулярной стороне АВ, равна 6. Длина диагонали АС равна 2?22. Найдите длину стороны AD.

4. Периметр прямоугольного треугольника равен 24 см, а его площадь равна 24 см2. Найдите площадь описанного круга.

Билет № 20

1. Свойство средней линии треугольника.

2. Формулы радиусов вписанной и описанной окружностей для правильного n-угольника. Площадь правильного многоугольника.

3. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки длиной 5 и 12 см. Найдите катеты треугольника.

4. Около окружности описана равнобокая трапеция, у которой боковая сторона точкой касания делится на отрезки 4 и 9 см. Найдите площадь трапеции.

§ 4. Экзаменационный комплект № 4 (элективный уровень)

Билет № 1

1. Аксиомы и теоремы. Определения. Аксиомы планиметрии.

2. Критерий вписанной в четырехугольник окружности.

3. Формула угла между прямыми a1x + BLy + c1 = 0 и а2х + b2у + с2 = 0.

4. В остроугольном треугольнике ABC из вершине и С на стороны ВС и АВ опущены высоты АР и CQ. Известно, что площадь треугольника ABC равна 18, площадь треугольника BPQ равна 2, а длина отрезка PQ равна 2?2. Вычислите радиус окружности, описанной около треугольника ABC.

5. Основание АВ трапеции ABCD вдвое длиннее основания CD и вдвое длиннее боковой стороны AD. Длина диагонали АС равна а, а длина боковой стороны ВС равна b. Найти площадь трапеции.

Билет № 2

1. Признаки и свойства фигур. Характеристическое свойство геометрической фигуры. Примеры.

2. Критерий описанной около четырёхугольника окружности.

3. Координатные формулы деления отрезка в данном отношении.

4. В треугольнике, один из углов которого равен разности двух других, длина меньшей стороны равна 1, а сумма площадей квадратов, построенных на двух других сторонах, в два раза больше площади описанного около треугольника круга. Найти длину большей стороны треугольника.

5. В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагонали АС и BD пересекаются в точке F. Известно, что AF = CF = 2, BF = 1, DF = 4, ?BFC = ?/3. Найти косинус угла между векторами АВ и DC.

Билет № 3

1. Прямая, обратная, противоположная и обратная к противоположной теоремы. Закон контрапозиции. Метод доказательства от противного.

2. Формула Герона площади треугольника.

3. Смешанное произведение векторов, его геометрический смысл.

4. В треугольнике ABC величина угла ВАС равна ?/3, длина высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ, равна – ?3 см, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 5 см. Найти длины сторон треугольника ABC.