Читаем Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс полностью

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

5. Диагональ BD четырёхугольника ABCD является диаметром окружности, описанной около этого четырёхугольника. Вычислить длину диагонали АС, если BD = 2, АВ = 1, ?ABD: ?ВВС = 4:3.

Билет № 4

1. Геометрическое место точек. Основные геометрические места точек на плоскости. Метод геометрических мест.

2. Признаки подобия треугольников.

3. Формула расстояния между параллельными прямыми ах + by + с1 = 0 и ах + by + с2 = 0.

4. На катете АС прямоугольного треугольника ABC как на диаметре построена окружность, которая пересекает гипотенузу АВ в точке К. Найти площадь треугольника СКВ, если длина катета AС равна b и величина угла ABC равна ?.

5. В выпуклом четырёхугольнике длины диагоналей равны одному и двум метрам. Найти площадь четырёхугольника, зная, что длины отрезков, соединяющих середины его противоположных сторон, равны.

Билет № 5

1. Вектор. Координаты вектора. Равенство векторов. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число.

2. Признаки параллельности прямых.

3. Зависимость между высотами треугольника и радиусом вписанной в него окружности.

4. Длины боковых сторон трапеции равны 3 и 5. Известно, что в трапецию можно вписать окружность. Средняя линия трапеции делит её на две части, отношение площадей которых равно 5/11. Найти длины оснований трапеции.

5. В треугольнике ABC длина высоты BD равна 6 см, длина медианы СЕ равна 5 см, расстояние от точки пересечения отрезков BD и СЕ до стороны АС равно 1 см. Найти длину стороны АВ.

Билет № 6

1. Движения на плоскости, их виды. Композиция движений.

2. Свойство биссектрисы треугольника.

3. Взаимное расположение прямой ах + by + с = 0 и вектора n = (а; b).

4. Выпуклый четырёхугольник ABCD описан вокруг окружности с центром в точке О, при этом АО = ОС = 1, ВО = OD = 2. Найти периметр четырёхугольника ABCD.

5. В треугольнике ABC на стороне АВ взята точка К так, что АК: ВК = 2:1, а на стороне ВС взята точка L так, что CL: BL = 2:1. Пусть Q – точка пересечения прямых AL и СК. Найти площадь треугольника ABC, если дано, что площадь треугольника BQC равна 1.

Билет № 7

1. Преобразования плоскости. Преобразование подобия. Гомотетия.

2. Докажите, что точка пересечения боковых сторон трапеции, точка пересечения диагоналей и середины оснований трапеции лежат на одной прямой.

3. Свойство точки пересечения медиан.

4. В выпуклом четырёхугольнике MNLQ углы при вершинах N и L – прямые, а величина угла при вершине М равна arctg2/3. Найти длину диагонали NQ, если известно, что длина стороны LQ вдвое меньше длины стороны MN и на 2 м больше длины стороны LN.

5. В треугольнике ABC высота BD равна 11,2, а высота АЕ равна 12. Точка Е лежит на стороне ВС и BE: ЕС – 5:9. Найти длину стороны АС.

Билет № 8

1. Равенство фигур. Признаки равенства треугольников.

2. Уравнение прямой. Геометрический смысл числа k в уравнении у = kx + b.

3. Число ? и методы его вычисления. Длина окружности.

4. В окружность вписан четырёхугольник ABCD, диагонали которого взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке Е. Прямая, проходящая через точку Е и перпендикулярная к АВ, пересекает сторону CD в точке М. Доказать, что ЕМ – медиана треугольника CED, и найти её длину, если AD = 8 см, АВ = 4 см и ?CDB = ?.

5. В треугольнике ABC угол ВАС прямой, длины сторон АВ и ВС равны соответственно 1 и 2. Биссектриса угла ABC пересекает сторону АС в точке L, G – точка пересечения медиан треугольника ABC. Что больше, длина BL или длина BG?

Билет № 9

1. Свойства параллельных прямых. Сумма углов треугольника и выпуклого n-угольника.

2. Формулы приведения.

3. Теорема Менелая и обратная к ней.

4. Центр О окружности радиуса 3 лежит на гипотенузе АС прямоугольного треугольника ABC. Катеты треугольника касаются окружности. Найти площадь треугольника ABC, если известно, что длина отрезка ОС равна 5.

5. Продолжения сторон AD и ВС четырёхугольника ABCD пересекаются в точке Р. Точки M и N – середины сторон АВ и CD. Доказать, что если прямая MN проходит через точку Р, то ABCD – трапеция.

Билет № 10

1. Геометрическое место центров вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружностей.

2. Теорема Чевы и обратная к ней.

3. Многоугольники. Правильные многоугольники. Формулы R и r для правильного n-угольника со стороной а.

4. На плоскости лежит равнобедренный прямоугольный треугольник, у которого катеты имеют длину а. Поворотом в этой плоскости данного треугольника вокруг вершины его прямого угла на угол 45° получается другой равнобедренный прямоугольный треугольник. Найти площадь четырёхугольника, являющегося общей частью этих двух треугольников.

5. В параллелограмме ABCD сторона АВ равна 6 см, а высота, проведенная к основанию AD, равна 3 см. Биссектриса угла BAD пересекает сторону ВС в точке М так, что МС = 4 см. N – точка пересечения биссектрисы AM и диагонали BD. Вычислить площадь треугольника BNM.