Гёдель, Эшер, Бах. Эта бесконечная гирлянда

Что заставляет нас думать подобным образом? Мне кажется, что в этом виноват замеченный нами изоморфизм между системой pr и сложением. Во введении термин «изоморфизм» был определен как трансформация, сохраняющая информацию Теперь мы можем далее углубиться в это понятие и рассмотреть его в иной перспективе. Слово «изоморфизм» приложимо к тем случаям, когда две сложные структуры могут быть отображены одна в другой таким образом, что каждой части одной структуры соответствует какая-то часть другой структуры («соответствие» здесь означает, что эти части выполняют в своих структурах сходные функции). Такое использование слова «изоморфизм» восходит к более точному математическому понятию.

Обнаружить изоморфизм между двумя известными ему структурами — большая радость для математика. Часто это открытие изумительно и неожиданно, как гром с ясного неба. Осознание изоморфизма между двумя хорошо известными структурами — большой шаг вперед по дороге познания, и я считаю, что именно это порождает значения в человеческом мозгу. Для полноты картины заметим, что поскольку изоморфизмы бывают самых различных типов, иногда не совсем ясно, когда же мы в действительности имеем дело с изоморфизмом. Таким образом, слову «изоморфизм», как и вообще всем словам, присуща некая расплывчатость, что является одновременно и достоинством, и недостатком.

В данном случае, у нас имеется великолепный прототип для понятия «изоморфизм». Во первых, у нас есть «низший уровень» нашего изоморфизма — соответствие между частями двух структур:

p <==> плюс

r <==> равняется

- <==> один

-- <==> два

--- <==> три

и т. д.

Подобное соответствие между словами и символами называется интерпретацией.

Во-вторых, на более высоком уровне, у нас имеется соответствие между истинными утверждениями и теоремами. Заметим, однако, что это соответствие высшего уровня не может быть осознано, пока мы не выберем интерпретации для символов. Исходя из этого, правильнее будет говорить о соответствии между истинными суждениями и интерпретированными теоремами. В любом случае, мы установили соответствие между двумя порядками — нечто типичное для изоморфизма. Когда вы имеете дело с формальной системой, о которой ничего не знаете и в которой желаете найти скрытое значение, ваша задача — интерпретировать символы таким образом, чтобы установить соответствие между истинными высказываниями и теоремами. Возможно, что сначала вам придется искать наугад, прежде чем вы найдете набор слов, подходящий для ассоциации с символами системы. Эта процедура весьма напоминает попытки расшифровать секретный код или прочитать надпись на незнакомом языке, как, например, критский линейный В: единственный возможный путь состоит в использовании метода проб и ошибок, а также «разумных» догадок. Когда вы найдете правильный, «значащий» вариант, внезапно все приобретает смысл, и работа начинает идти во много раз быстрее. Очень скоро все встает на свои места. Счастливое волнение, испытываемое при этом исследователем, хорошо описано Джоном Чадвиком в его книге «Расшифровка линейного языка В» (John Chadwick, The Decipherment of Linear B).

Однако мало кому приходится расшифровывать формальные системы, найденные в раскопках древних цивилизаций. Больше всего с формальными системами имеют дело математики (а в последнее время также лингвисты, философы и некоторые другие ученые); они придерживаются определенной интерпретации в формальных системах, которые они изучают и используют. Эти специалисты пытаются создать такую формальную систему, теоремы которой изоморфно отражали бы какие-либо фрагменты действительности. В этом случае выбор символов так же важен, как выбор типографских правил вывода. Задумав систему pr, я очутился как раз в таком положении. Читателю, вероятно, уже понятно, почему я выбрал именно такие символы. Теоремы системы pr не случайно изоморфны сложению; это получилось потому, что я искал способ представить сложение типографским путем.

Интерпретации значащие и незначащие

Вы можете выбрать интерпретации, отличные от моей. При этом не обязательно, чтобы каждая теорема оказывалась истинной. Однако какой смысл в такой интерпретации, при которой, скажем, все теоремы оказывались бы ложными? Еще более бессмысленной выглядит интерпретация, при которой теоремы вообще никоим образом не соотносятся с критериями истинности или ложности. Нам придется поэтому различать два типа интерпретации формальных систем. Во-первых, мы можем говорить о незначащей интерпретации, которая не устанавливает никакой изоморфной связи между теоремами системы и реальностью Подобных интерпретаций сколько угодно, годится любой случайный выбор. Возьмем, например, такую интерпретацию

p<==> лошадь

r<==> счастливая

- <==> яблоко