Гёдель, Эшер, Бах. Эта бесконечная гирлянда

Подведем итоги тому, что мы сказали о системе pr. В каждой из двух значащих интерпретаций, любая правильно построенная строчка соответствует какому-либо грамматическому высказыванию. Некоторые из этих высказываний окажутся истинными, некоторые — ложными. В любой формальной системе правильно построенными строчками являются те, которые, будучи проинтерпретированы символ за символом, порождают грамматические высказывания. (Безусловно, это зависит от самой интерпретации, но обычно мы уже имеем в виду какую-то одну из них.) Среди правильно построенных строчек некоторые являются теоремами. Теоремы определяются схемой аксиом и правилом вывода. Моей целью, когда я придумывал систему pr, являлась имитация сложения: каждая теорема, интерпретированная определенным образом, выражает истинный пример сложения; наоборот, каждое уравнение сложения двух целых положительных чисел может быть записано в форме строчки, оказывающейся теоремой. Эта цель была достигнута. Таким образом, заметьте, что все ошибочные примеры сложения, такие, как, например, 2 плюс 3 равняется 6, соответствуют правильно построенным строчкам, которые, однако, не являются теоремами.

Формальные системы и действительность

Это был наш первый пример того, как формальная система может быть основана на фрагменте действительности и точно отображать его в том смысле, что теоремы этой системы изоморфны истинным утверждениям данной части действительности. Однако надо иметь в виду, что действительность и формальные системы не зависят друг от друга. Никто не обязан знать об изоморфизме между ними. Каждая из этих систем существует сама по себе: 1 плюс 1 равняется 2, независимо от того, знаем ли мы, что -p-r-- является теоремой; с другой стороны, -p-r-- является теоремой, независимо от того, соотносим ли мы ее с примером сложения.

Читатель может спросить, помогает ли создание этой (или любой другой) формальной системы узнать что-либо новое об области ее интерпретации. Выучили ли мы какие-нибудь новые примеры сложения путем производства pr-теорем? Разумеется, нет; однако мы узнали что-то новое о самом процессе сложения, а именно, что оно легко может быть имитировано с помощью типографского правила, управляющего абстрактными символами. Это пока не удивительно, так как сложение — весьма простое понятие. Всем известно, что суть сложения может быть «уловлена» скажем, при наблюдении за вращающимися шестеренками кассового аппарата.

Ясно, что мы затронули лишь самые начатки формальных систем; естественно, возникает вопрос, какие именно фрагменты действительности могут быть отражены при помощи набора бессмысленных символов, управляемых формальными законами? Может ли вся реальность быть превращена в формальную систему? В очень широком смысле кажется, что на этот вопрос можно ответить положительно. Мы можем предположить, например, что вся действительность — это не более чем весьма сложная формальная система. Ее символы находятся не на бумаге, а в трехмерном вакууме (пространстве); это элементарные частицы, из которых устроена вселенная. (Мы предполагаем здесь, что материя не делится до бесконечности, и что, таким образом, выражение «элементарные частицы» имеет смысл.) «Типографские правила» такой формальной системы — законы физики, которые, учитывая положение и скорость всех частиц в данный момент, говорят нам, какие изменения произойдут, и каковы будут новая скорость и положение частиц в «следующий» момент. Таким образом, теоремами этой огромной формальной системы являются все возможные конфигурации частиц во все времена истории вселенной. Единственной аксиомой здесь является (или являлось) первоначальное положение всех частиц в «начале времен». Однако это концепция столь грандиозна, что представляет лишь сугубо теоретический интерес; к тому же, достижения квантовой механики (и других областей физики) вносят некие сомнения даже и в чисто теоретическую ценность этой идеи. Проблема сводится к вопросу, функционирует ли вселенная по законам детерминизма; этот вопрос пока остается открытым.

Математика и манипуляция символами

Вместо того, чтобы иметь дело с такой огромной картиной, возьмем в качестве нашей «действительности» математику. Тут мы сталкиваемся с серьезным вопросом: можем ли мы быть уверены в точности нашей формальной системы, моделирующей какую-либо область математики, в особенности, если мы еще не изучили данную часть математики вдоль и поперек? Предположим, что цель формальных систем — дать нам новые знания по данной дисциплине. Каким образом мы узнаем, что интерпретация каждой теоремы истинна? Для этого пришлось бы доказать, что между формальной системой и данной частью математики существует полный изоморфизм. С другой стороны, подобное доказательство возможно только в том случае, если нам с самого начала уже известны все истинные утверждения данной дисциплины!