Гёдель, Эшер, Бах. Эта бесконечная гирлянда

Теперь строчка -p-r-- приобретает новую интерпретацию «Яблоко лошадь яблоко счастливая яблоко яблоко» Это поэтическое выражение, пожалуй, может понравиться лошадям и даже показаться им наилучшей интерпретацией строчек данной системы. Однако в такой интерпретации весьма мало «осмысленности», теоремы системы звучат ничуть не истинней и не лучше, чем не-теоремы. Утверждение «счастливая счастливая счастливая яблоко лошадь» (соответственно, rrr-p) доставит нашей лошадке точно такое же удовольствие, как и любая интерпретированная теорема.

Другой тип интерпретации может быть назван значащим. В такой интерпретации, теоремы и истины совпадают — то есть, между теоремами и фрагментами реального мира существует изоморфизм. По этой причине мы будем различать интерпретацию и значение. Интерпретацией p могло бы быть любое слово, но «плюс» кажется мне единственным значащим вариантом. Короче, наиболее вероятно что значение «p» — «плюс», хотя этот символ может иметь миллион различных интерпретаций.

Активные и пассивные значения

Возможно, что прочитавшие внимательно эту главу найдут самым важным в ней следующий факт: система pr, по всей видимости, заставляет нас признать, что поначалу абстрактные символы неизбежно приобретают некое значение, по крайней мере, если мы находим какой-либо изоморфизм. Однако между значением в формальных системах и значением в языке есть важное различие. Различие это заключается в том, что, выучив значение какого-либо слова, мы составляем затем новые предложения, основанные на этом значении. В определенном смысле значение становится активным, так как оно порождает новые правила создания предложений. Это означает, что наше владение языком не является законченным продуктом, правил производства предложений становится все больше по мере того, как мы выучиваем новые значения. С другой стороны, в формальных системах теоремы предопределены правилами вывода. Мы можем выбирать «значения», основанные на изоморфизме (если таковой удается найти) между теоремами и истинными утверждениями. Однако это еще не разрешает нам по своему усмотрению прибавлять новые теоремы к уже имеющимся в системе. Именно об этом предупреждало нас в первой главе правило формальности.

В системе MIU, разумеется, у нас не возникает искушения выйти за пределы четырех правил, так как мы не собираемся искать в ней никаких интерпретаций. Однако здесь, в нашей новой системе, мы можем соблазниться новоприобретенным «значением» каждого символа и решить, что строчка

--p--p--p--r--------

является теоремой. По крайней мере, у нас может появиться такое желание; однако это не меняет того факта, что эта строчка — не теорема. Было бы грубой ошибкой думать, что она «должна» быть теоремой, только лишь потому, что 2 плюс 2 плюс 2 плюс 2 равняется 8. Более того, было бы неверно приписывать этой строчке вообще какое бы то ни было значение, поскольку она не является правильно построенной, в то время как наша интерпретация полностью выводится из наблюдения над правильно построенными строчками.

В формальной системе значение должно оставаться пассивным; мы можем прочитывать каждую строчку в зависимости от значения символов, ее составляющих, но нам не позволено создавать новые теоремы,основываясь назначениях, которые мы придаем этим символам. Интерпретированные формальные системы находятся на границе между системами без значения и системами со значением. Мы можем считать, что их строчки что-то выражают, но это является не более как следствием формальных особенностей данной системы.

Double-entendre!

А теперь я хочу рассеять ваши иллюзии по поводу того, что мы нашли единственно правильное значение для символов системы pr. Рассмотрим следующее соотношение:

p <==> равняется

r <==> отнятое от

- <==> один

-- <==> два

и т. д.

Теперь --p---r----- приобретает новое значение: «2 равняется 3 отнятым от 5». Разумеется, это истинное утверждение; более того, в новой интерпретации все теоремы системы будут истинны. Новая интерпретация ровно настолько же осмыслена, насколько и прежняя. Ясно, что глупо спрашивать, какое из двух значений является истинным на самом деле. Любая интерпретация истинна, если только она аккуратно отражает определенный изоморфизм с действительностью. Когда какие-либо аспекты действительности (в данном случае, сложение и вычитание) изоморфны между собой, одна и та же система может быть изоморфна обоим этим аспектам и в результате иметь два пассивных значения. Тот факт, что одни и те же символы могут иметь различные значения, чрезвычайно важен. В нашем примере это могло показаться вам тривиальным, или любопытным, или вообще неинтересным; однако когда мы вернемся к этой теме в более сложном контексте, читатель увидит, какое богатство идей она заключает.