Гёдель, Эшер, Бах. Эта бесконечная гирлянда

Ахилл: Это — еще один пример того, какой полезной может оказаться картотека трюков от бессоницы. Прекрасно! Но я все еще блуждаю в потемках с вашей задачкой о «PTOTE».

Ахилл: Поздравляю — теперь вам, может быть, удастся заснуть. Скажите же мне решение!

Ахилл: Вообще-то я не люблю подсказок, но на этот раз ладно, валяйте.

Ахилл: Не понимаю. Что вы имеете в виду под «рисунком» и «фоном»?

Ахилл: Разумеется, я знаком с «Мозаикой II». Я знаю ВСЕ работы Эшера. В конце концов, это мой любимый художник! Кстати, репродукция «Мозаики II» висит прямо у меня перед носом.

Ахилл: Всех черных зверей? Конечно, вижу!

Ахилл: Верно: их «негативное пространство» — то, что остается свободным — определяет белых зверей.

Ахилл: А, так вот что вы называете «рисунком» и «фоном»! Но какое отношение это имеет к головоломке о «Р-Т-О-Т-Е»?

Ахилл: Это для меня слишком сложно… Теперь и у меня начинает болеть голова; пойду, пожалуй, поищу мою спасительную картотеку, может быть она мне поможет забыться сном.

Ахилл: Вы хотите зайти сейчас? Но я думал…

Ахилл: Ну что ж, хорошо. А я пока постараюсь решить эту задачку с помощью вашей подсказки о рисунке и фоне и моей головоломки.

Ахилл: С удовольствием сыграю их для вас.

Ахилл: Вы изобрели о них теорию?

Ахилл: В сопровождении какого инструмента?

Ахилл: В таком случае, как странно, что он не записал также и партию клавесина, и не опубликовал их в таком виде.

Ахилл: А, понимаю — нам предоставляется выбор: слушать ее с аккомпанементом или без оного. Но откуда мы знаем, как он должен звучать?

Ахилл: Да, вы правы — наверное, лучше всего оставить эту работу воображению слушателя. Согласен — может быть, у Баха в мыслях вообще не было никакого аккомпанемента. Действительно, эти сонаты и так звучат замечательно.

Ахилл: Точно. Ну, до скорого.

Ахилл: Пока, г-жа Ч.

Рис. 14. М К. Эшер. «Мозаика II» (литография, 1957).

ГЛАВА III: Рисунок и фон

Простые и составные числа

ТО, ЧТО некоторые понятия можно выразить при помощи простых манипуляций типографскими символами, кажется довольно странным. До сих пор мы передали таким образом лишь понятие сложения, и это, возможно, не показалось нам удивительным. Предположим, однако, что мы захотим создать формальную систему с теоремами вида Px, где x было бы строчкой, состоящей из тире. Количество этих тире должно было бы выражаться простым числом. Так, P-- — было бы теоремой, в то время как P--- теоремой бы не являлось. Как это может быть выражено с помощью типографских операций? Сначала необходимо точно определить, что мы имеем в виду под «типографскими операциями». Полное описание было дано в системах MIU и pr, так что сейчас мы ограничимся только списком наших возможностей:

(1) читать и узнавать любое из конечных множеств символов;

(2) записывать любой из символов, принадлежащий такому множеству,

(3) повторять любой из этих символов в другом месте;

(4) стирать любой из этих символов;

(5) проверять, одинаковы ли два символа;

(6) сохранять и использовать список ранее выведенных теорем.

Список получился немного повторяющимся, но это не столь важно. Главное то, что он позволяет только самые тривиальные операции, намного проще, чем операция отличения простого числа от не простого. Как же, в таком случае, мы сможем совместить несколько операций и создать такую формальную систему, в которой простые числа отличались бы от составных?

Система ur

Первым шагом может стать решение более простой, но сходной задачи. Мы можем попытаться придумать систему, похожую на систему pr, но которая вместо сложения представляла бы умножение. Назовем ее системой ur (u = «умноженное на»). Предположим, что X, Y, Z , соответственно, — это количество тире в строчках x, y, z. (Обратите внимание, что я специально делаю упор на различии между строчкой, и количеством тире, которое эта строчка содержит.) Мы хотим, чтобы строчка xuyrz была теоремой только в том случае, когда X, умноженное на Y, равняется Z. Например, --u---r------ должно быть теоремой, так как 2, умноженное на 3, равняется 6, в то время как --u--r--- теоремой быть не должно. Систему ur так же просто описать, как и систему pr. Для этого нужны всего лишь одна аксиома и одно правило вывода

СХЕМА АКСИОМ: xu-rx является аксиомой, когда x — строчка, состоящая из тире.

ПРАВИЛО ВЫВОДА: Предположим, что x, у, и z — строчки тире, и что xuyrz — старая теорема. Тогда xuy-rzx будет новой теоремой.

Ниже приводится вывод теоремы --u---r------

(1) --u-r-- (аксиома)

(2) --u--r---- (по правилу вывода, используя (1) в качестве старой теоремы)

(3) --u---r------ (по правилу вывода, используя (2) в качестве старой теоремы)