Гёдель, Эшер, Бах. Эта бесконечная гирлянда

Таким образом, мы можем установить изоморфизм между двумя уровнями истории, сравнив то, как пластинки и бокалы, подобно бумерангам, «замыкаются» сами на себя и в результате гибнут, с тем, как предательский метод Черепахи оборачивается против нее самой. Рассматриваемая таким образом, сама история — пример «самоатак», которые в ней обсуждаются. Поэтому мы можем считать, что «Акростиконтрапунктус» косвенно говорит о себе самом, в том смысле, что его структура изоморфна событиям, которые в нем происходят. (Совершенно так же, как пластинки и бокал косвенно «говорят» о себе самих путем соседствующих изоморфизмов между игрой и вызыванием вибрации.) Конечно, можно прочитать Диалог, не замечая этого изоморфизма; тем не менее, он там присутствует.

Соответствие между «Акростиконтрапунктусом» и Теоремой Гёделя

Читатель, возможно, уже чувствует некоторое головокружение — однако это еще только цветочки, а ягодки впереди. (На самом деле, некоторые уровни неявного значения даже не будут здесь затронуты — если пожелаете, можете попробовать докопаться до них сами.) Я написал этот Диалог в основном для того, чтобы проиллюстрировать Теорему Гёделя, которая, как я уже говорил во введении, зависит от двух различных уровней значения высказываний теории чисел. Каждая из двух половин Диалога — «изоморфная копия» Теоремы Гёделя. Поскольку это сложное соответствие — центральная идея диалога, я попытался представить его на следующей диаграмме.

патефон <==> система аксиом теории чисел

патефон низкого качества <==> «слабая» система аксиом

качественный патефон <==> «сильная» система аксиом

«совершенный» патефон <==> полная система для теории чисел

«схема устройства» патефона <==> аксиомы и правила формальной системы

пластинка <==> строчка формальной системы

«проигрываемая» пластинка <==> теоремы формальной системы

«непроигрываемая» пластинка <==> не-теоремы формальной системы

звук <==> истинное высказывание теории чисел

воспроизводимый звук <==> интерпретированная теорема системы

невоспроизводимый звук <==> истинное высказывание, не являющееся теоремой

название песий «Меня нельзя воспроизвести на патефоне X» <==> неявное значение строчки Геделя «Меня нельзя вывести в формальной системе X»

На этой диаграмме приводится основа изоморфизма между Теоремой Гёделя и «Акростиконтрапунктусом». Не волнуйтесь, если вы пока не вполне понимаете суть Теоремы Гёделя — мы дойдем до нее только через несколько глав! Однако, прочитав этот Диалог, вы уже до некоторой степени прониклись духом этой Теоремы, даже если это и произошло незаметно для вас самих. Теперь я оставляю вас, читатель, с тем, чтобы вы попытались найти другие типы неявных значений в «Акростиконтрапунктусе». «Quaerendo invenietis»

«Искусство фуги»

Несколько слов об «Искусстве фуги»… Написанное в последний год жизни Баха, оно состоит из восемнадцати фуг, основанных на одной и той же теме. По-видимому, создание «Музыкального приношения» вдохновило Баха еще на один цикл фуг, на этот раз с менее сложной исходной темой, где он решил показать все возможности этой формы. Простую тему «Искусства фуги» Бах обыгрывает множеством разных способов. Большинство фуг четырехголосные; их сложность и глубина выражения постепенно возрастают. Ближе к концу фуги достигают такой степени сложности, что кажется невероятным, что композитору удается поддерживать этот уровень. Однако это ему удается… до последнего «Контрапункта».

«Искусство фуги» (а также жизнь композитора) были прерваны следующими обстоятельствами: Бах, у которого в течение многих лет были проблемы со зрением, наконец решился на операцию. Операция прошла неудачно, и Бах ослеп. Однако это не остановило его от работы над монументальным проектом, целью которого было описание всех возможностей искусства полифонической композиции; одной из важных черт проекта было использование многих тем. В композицию, которая была задумана как предпоследняя, Бах включил собственное имя, закодированное в третьей теме. Однако сразу после этого его здоровье так ухудшилось, что работу над любимым проектом пришлось прекратить. Несмотря на болезнь, Баху удалось продиктовать своему зятю финальную хоральную прелюдию, о которой Форкель, биограф композитора, написал следующее: «Когда я исполняю эту прелюдию, я всегда бываю глубоко тронут духом набожного смирения и веры; не могу сказать, чего мне не хватало бы больше: этого Хорала, или окончания последней фуги.»

Незадолго до смерти к Баху неожиданно вернулось зрение. Через несколько часов после этого с ним случился удар, и десять дней спустя он скончался, оставив загадку неполноты своего «Искусства фуги». Не связано ли это с тем, что Бах использовал там автореференцию?

Проблемы, связанные с Гёделевским результатом