Гёдель. Теоремы о неполноте

Первые четыре постулата очевидны, но пятый имеет высокую понятийную сложность и может оказаться не таким явным, как остальные. На самом деле оригинальная формулировка Евклида для пятого постулата была еще сложнее (выше приведена самая известная формулировка, предложенная английским математиком Джоном Плейфэром в конце XVIII века). Интересно добавить, что в своих доказательствах Евклид старался меньше использовать пятый постулат (как будто он сам немного не доверял его справедливости).

Доказательство Эудженио Бельтрами

В течение многих веков считалось, что пятый постулат можно доказать на основе четырех других. Было сделано много попыток найти доказательство, но все они провалились. Наконец, в 1868 году Эудженио Бельтрами доказал, что пятый постулат неразрешим относительно остальных четырех, то есть ни сам постулат, ни его отрицание не могут быть доказаны на их основе. Это был первый в истории известный пример неразрешимости относительно множества аксиом — за несколько десятков лет до того, как Гёдель доказал свою теорему. У пятого постулата есть два отрицания: в одном из них говорится, что через точку, не лежащую на прямой, не проходит ни одной прямой, параллельной данной, в другом — что через нее проходит больше одной параллельной прямой. Как пятый постулат, так и его отрицания могут быть добавлены к оставшимся четырем, и во всех случаях получается непротиворечивое множество аксиом. Когда добавляется пятый постулат, получается, конечно же, геометрия Евклида; в оставшихся двух случаях возникают так называемые неевклидовы геометрии. Сегодня считается, что все эти геометрии одинаково справедливы; неевклидовы больше подходят для описания эйнштейновского пространства, искривленного присутствием масс, в то время как евклидова больше приспособлена к нашему восприятию повседневных явлений.

Это приравнивает математику к естественным наукам. В физике, например, любая теория является предварительной. То, что гравитационное притяжение между двумя телами уменьшается согласно квадрату расстояния, — это предварительное утверждение, поскольку мы никогда не сможем проверить силу гравитационного притяжения для всех пар тел, существующих во Вселенной, на всех возможных расстояниях. Утверждение истинно... пока не найдена ситуация, в которой оно не работает.

Нечто подобное происходит с семантическими доказательствами; мы можем быть уверены, что из Р выводится Q... пока не найдем мир, в котором Р будет истинным, a Q не работает. В программе Гильберта предполагалось избавление от этой неточности и предлагались методы доказательства, правильность которых можно было бы проверить раз и навсегда.

Повторим сказанное выше: любое истинное арифметическое высказывание может быть доказано на основе аксиом Пеано, если мы допустим семантические методы. Но мы никогда не сможем быть абсолютно уверены в том, что эти семантические методы верны. Мы можем иметь точные и достоверные методы рассуждения, как хотел Гильберт, но в этом случае не сможем доказать все истины. Мы можем узнать потенциально все арифметические истины, но без уверенности в том, что наши методы корректны. Надежность и достоверность либо возможность узнать все истины — одно или другое, но не оба варианта одновременно.

ЛЮДИ И КОМПЬЮТЕРЫ