Гёдель. Теоремы о неполноте

К счастью, первоначальный слой стерли не полностью, и оригинальную работу частично удалось восстановить. Процесс возобновился в начале XXI века, когда группе экспертов, располагающих современными приборами для освещения и анализа изображений, удалось продвинуться в восстановлении «Метода...». Часть их открытий означает, что Архимед работал с актуальной бесконечностью. Эта история рассказана в детективе Ревьеля Нетца и Уильяма Ноэля «Кодекс Архимеда». Согласно полученным данным, чтобы сравнить объем двух тел, Архимед представлял их разрезанными на бесконечное количество полосок бесконечно малой ширины и делал вывод о том, что оба тела равны, если можно установить пары между полосками, образующими эти тела. Это предполагает не только работу с актуальной бесконечностью, но и допущение сравнения между двумя бесконечностями посредством установления пар между их компонентами, что сделал Кантор в конце XIX века. Если эти открытия подтвердятся, придется переписать часть истории бесконечности и признать, что Архимед ранее Кантора использовал актуальную бесконечность.

Архимед. Работа Жана Гужона. Фасад Лувра, Париж.

БЕСКОНЕЧНОСТЬ КАНТОРА

С 1867 по 1869 год Кантор в Берлине проводил свои первые исследования под руководством Леопольда Кронекера (спустя несколько лет они стали врагами). В то время Берлин был одним из самых мощных математических центров в мире (наряду с Геттингеном и Парижем). Первые исследовательские работы Кантора не слишком впечатлили его преподавателей, которые даже считали, что он никогда не станет выдающимся математиком. В 1870 году Кантору пришлось переехать из центра науки, Берлина, на периферию. Молодой и неизвестный ученый начал собственные исследования в Галльском университете.

Когда математик проводит исследование, его цель — решить определенную проблему. Даже сегодня, если спросить у математика, над чем он работает, его ответ наверняка будет состоять в формулировке задачи, которую он пытается решить. Чтобы понять задачу, занимавшую Кантора в 1870 году, нам нужно кратко рассказать о рядах Фурье.

В начале XIX века французский математик Жозеф Фурье разработал метод, позволяющий разложить любую периодическую функцию на сумму определенных элементарных функций (каждая из которых меняет амплитуду, частоту или фазу исходной функции). Фурье успешно применил его для изучения таких волновых явлений, как распространение тепла или колебания пружины. Так как эти суммы обычно затрагивают бесконечное (теоретически) число функций, а в математике результат сложения бесконечного числа величин называют рядом, этот метод получил название рядов Фурье. Сегодня он является важным инструментом во многих отраслях науки, таких как физика и инженерное дело.

В 1860-х годах, также в Галле, немецкий математик Эдуард Гейне работал над проблемой определения того, всегда ли разложение периодической функции на сумму элементарных волн является единственным.

Вопрос о единственности разложения часто встречается в математике. Возьмем натуральные числа (то есть образующие вышеупомянутую последовательность 1, 2, 3, 4...). Вспомним, что простые числа — это числа, которые делятся только на единицу и на самих себя (например, 2, 3, 5 и 11 — простые числа, в то время как 9 таковым не является, поскольку делится на 3).

Уже много тысячелетий известно (об этом знал и Евклид в III веке до н. э.), что любое натуральное число, большее 1, либо простое, либо может быть записано как произведение простых.

РЯДЫ ФУРЬЕ

Французский математик Жан Батист Жозеф Фурье (1768-1830) в начале XIX века установил, что любая периодическая функция — это результат сложения бесконечного числа синусоидальных волн. На рисунке 1 представлена периодическая функция со скачками, или разрывами, во всех целых нечетных числах (положительных и отрицательных), в то время как на рисунке 2 показана основная синусоидальная волна.

РИС. 1

РИС. 2