Гёдель. Теоремы о неполноте

Однако заметим, что записи этого гипотетического народа никогда не будут содержать бесконечного количества чисел. Сначала они составят несколько сотен, потом — несколько тысяч, еще позже — несколько миллионов и триллионов чисел, но их количество всегда будет конечным (поскольку при наличии достаточного времени записанные числа можно будет полностью просмотреть от начала до конца). Бесконечность последовательности проявляется в непостижимой характеристике: она никогда не заканчивается, это будущее недостижимое свойство, а не черта, присутствующая в настоящем. Такой способ рассмотрения бесконечности Аристотель назвал потенциальной бесконечностью, или бесконечностью в возможности.

Второй способ представления бесконечности состоит в том, чтобы рассматривать ее как особенность, присутствующую в действительности. В этом случае мы должны думать не о народе, записывающем числа из поколения в поколение, а о сверхъестественном существе, которое записало их все — абсолютно все — в почти божественном акте доброй воли (при этом неправильно говорить, что оно записало их от начала до конца, потому что конца нет). Очень сложно, если не невозможно, постичь это. Способны ли мы представить себе нечто, что присутствует целиком, но никогда, абсолютно никогда не заканчивается? Невозможно показать реальные ситуации, в которых появляется бесконечность. Вся жизнь Вселенной, начиная с момента Большого взрыва, имеет только потенциально бесконечное количество секунд. Согласно действующим теориям.

Вселенная в целом включает конечное количество субатомных частиц. То ли потому что бесконечность действительно невообразима, то ли потому что ее не существует в физической реальности, то ли по другим философским причинам Аристотель утверждал: бесконечности в действительности (то есть актуальной бесконечности) не существует.

Существует понятие, искажающее и обесценивающее другие. Речь идет не о Зле, чьи владения ограничены этикой; речь идет о бесконечности.

Хорхе Луис Борхес. «Аватары черепахи», сборник «Обсуждение» (1932)

В течение столетий, до самого XIX века, этот отказ от актуальной бесконечности единодушно поддерживался западными философскими и математическими догмами. В Средние века схоластическая мысль усилила этот отказ, добавив к нему религиозное измерение. Актуальная (или категорематическая) бесконечность, согласно схоластикам, приписывается исключительно Божеству, и претендовать на то, что человеческий ум способен охватить или понять ее целиком, — ересь.

Приведем три случая, когда проявлялся отказ от актуальной бесконечности. Первый краток и ужасен: в 1600 году Джордано Бруно был приговорен к смерти на костре в том числе из-за утверждения в одной из своих работ, что Вселенная содержит бесконечное количество миров. Второй пример: в 1638 году Галилео Галилей выдвинул математический аргумент, который, согласно видению того времени, доказывал, что актуальная бесконечность — само по себе противоречивое понятие. В рассуждении, известном как парадокс Галилея, говорится так: задумаемся еще раз о последовательности 1, 2, 3, 4, 5... В ней содержится другая последовательность, образованная квадратными числами, то есть теми, которые получаются умножением числа само на себя: 1,4,9,16, 25...

На основе аристотелевского принципа о том, что целое больше любой его части, мы должны сделать вывод, что чисел больше, чем квадратных чисел, поскольку они составляют лишь часть.

Но, говорил Галилей, если бы последовательности 1, 2, 3, 4, 5... и 1, 4, 9, 16, 25... были бесконечны в действительности, было бы возможно идеально установить пары между ними обеими. Числу 1 соответствовало бы число 1, числу 2-4, числу 3-9 и так далее.

БЕСКОНЕЧНОСТЬ ЕВКЛИДА