Григорий Перельман и гипотеза Пуанкаре

жизни математика занимала место еще одного хобби. К сорока девяти годам у него сложилась репутация превосходного лектора, но количество его опубликованных работ было относительно невелико, если не считать базовых статей о потоках Риччи; кроме того, у него практически не было учеников. Перельман прочел статьи Гамильтона, после чего отправился послушать его лекцию в ИПИ. После лекции Перельман поборол свою застенчивость и поговорил с Гамильтоном.

"Мне было очень важно расспросить его кое о чем, — вспоминал Перельман. — Он улыбался и был очень со мной терпелив. Он даже рассказал мне пару вещей, которые были им опубликованы только несколько лет спустя. Он, не задумываясь, делился со мной. Мне очень понравились его открытость и щедрость. Могу сказать, что в этом Гамильтон был не похож на большинство других математиков".

"Я работал над разными темами, хотя время от времени я мысленно возвращался к потокам Риччи, — добавил Перельман. — Не нужно быть великим математиком, чтобы увидеть, что потоки Риччи могут оказаться полезными в решении проблемы геометризации. Я чувствовал, что мне не хватает знаний. Я продолжал задавать вопросы…"

В 1996 году он написал Гамильтону длинное письмо, обозначив в нем свою идею — с надеждой на сотрудничество. "Он не ответил, — сказал Григорий. — И я решил работать один"».

Сильвия Насер, Дэвид Грубер. Многообразная судьба. Легендарная проблема и битва вокруг ее решения

Между тем после лекционного турне по американским университетам Перельман вернулся в Россию, где начал трудиться над решением проблемы особенностей потоков Риччи и доказательством гипотезы геометризации (а вовсе не над гипотезой Пуанкаре) втайне от всех. Решая уравнение потока Риччи (математически это дифференциальное уравнение в частных производных), Григорий Яковлевич получил очень интересные результаты, позволяющие деформировать риманову метрику на многообразии. Однако немного позже он получил довольно неприятный результат, заключающийся в том, что в процессе деформации возможно образование сингулярностей — точек, в которых кривизна стремится к бесконечности. «Сингулярные решения» очень не любят физи-

-82-

ки, обоснованно считая, что их математические модели просто перестают работать в данных точках и ту же деформацию невозможно продолжить. Первый шаг в «войне с сингулярносгями» состоит в их классификации в трехмерном ориентированном случае. Затем при подходе к сингулярности поток останавливают и производят «хирургию» — выбрасывают малую связную компоненту или вырезают «шею», а полученные две дырки заклеивают двумя шарами так, что метрика полученного многообразия становится достаточно гладкой, — после чего продолжают деформацию.

Классификация сингулярностей позволяет заключить, что каждый «выброшенный кусок» диффеоморфен сферической пространственной форме. Процесс, описанный выше, называется «поток Риччи с хирургией».

Рис. 34. Планетарная поверхность как аналог двумерной сферы — одного из основных элементов доказательства теоремы Пуанкаре — Перельмана

Исходя из общепризнанных математических стандартов (да и общих научных), решение проблемы Пуанкаре, предложенное Перельманом, выглядело достаточно необычно. Его форма была конспективно краткой и в то же время фантастически емкой, логика построений поражала филигранной точностью математических высказываний, а сами они были до предела сжаты. Более того, доказательство не имело прямых упоминаний гипотезы Пуанкаре и содержало массу результатов, не имевших отношения к основной теме. Все это вызвало

-83-