Я. Философия и психология свободы

А затем он с помощью своего диагонального метода (который Гедель использовал для своей теоремы о неполноте) показал, что континуум невозможно пересчитать. В самой общей форме это выглядит так. Допустим, что множество всех действительных (рациональных и иррациональных) чисел не более чем счетно. Впрочем, достаточно будет ограничиться множеством всех этих чисел на отрезке от 0 до 1, так что каждое рассматриваемое нами число будет десятичной дробью вида 0, 1234…890…, в которой цифры комбинируются всеми возможными способами. Если их можно упорядочить (с помощью аксиомы выбора), т.е. пересчитать, как и все рациональные числа, то это значило бы, что континуум счетен (т.е. дискретен). Но затем Кантор показал, как получить число, которого нет в этом списке. Выстроим все числа в столбец.

Новое число составим так. Двигаясь по диагонали от числа к числу, будем вписывать в новое число 0, если видим любую другую цифру от 1 до 9, а если видим 0, то пишем 1. Полученное число будет выглядеть так же, как и все остальные, но при этом оно будет отличаться от каждого из них по крайней мере в одном знаке. Таких чисел, меняя правила подстановки, можно получить бесконечное количество, бесконечно меняя правила. Следовательно, континуум невозможно пересчитать.

Этот результат следует толковать не количественном смысле, а в качественном. Континуум больше множества натуральных чисел не потому, что за бесконечностью ∞ находятся новые числа: ∞ +1 и т.д. (как это, например, было допущено в так называемой «теории кардиналов», порождающей череду несчетных бесконечностей). Мы имеем одну-единственную бесконечность в своем самосознании. Все зависит от того, как мы не нее «смотрим». Это скорее вопрос для теории сознания, чем для математики. Мы видим бесконечность по-разному. Так что есть точка – бесконечно малая величина или ничто? Если она равна нулю, т.е. ее мера Лебега равна нулю, то и континуум, как объединение всех точек, имеет нулевую меру. Т.о. точка должна иметь протяженность. Но если она является очень маленьким отрезком, которыми можно замостить континуум, то их число должно быть счетным. Иначе говоря, континуум состоит из точек-дифференциалов счетной бесконечности и еще чего-то, какой-то абракадабры между ними, которая и создает непроницаемый фон: невозможно найти в континууме дыру, которая не была бы числом. Вообще говоря, было бы очень странно, если бы, ковыряясь в числах, мы нашли среди них сапоги, и поэтому непроницаемый континуум выглядит даже очень правильно с точки зрения нашей логики, которая не терпит оксиморонов.

Действительные (и комплексные) функции положены в основу математической физики. Но когда физик дифференцирует какую-нибудь функцию f, он лишь определяет через производную df/dt как изменяется во времени эта функция, используя точно разработанный языковой аппарат, никак не предполагая при этом, что время является квантовым и математический дифференциал dt есть тот самый квант времени. Действительная прямая принимается в математике всюду плотной, т.е. такой, что между любыми двумя сколь угодно близки числами существует по крайней мере еще одно число. Числам соответствуют бесконечно малые величины, которые не равны нулю. Ведь складывать нули бесполезно. Как объединение точек несчетный континуум C можно представить счетным множеством – суммой дифференциалов, между которыми есть еще некая неопознанная величина:

C =dx + х + dx + х + dx +…

Разумно предположить, что это и есть ничто, нуль. Так что же такое нуль? Он ведь тоже экзистенциален. По крайней мере, мы успешно пользуемся этим ничто. И он не дифференциал.

Древнегреческий философ Зенон был родом из Элеи, и поэтому последователей его школы принято называть «элеатами» (другой Зенон родом из Кития стал основателем стоицизма). Сам Зенон был учеником Парменида, который первым в греческой философии заявил: «Бытие тождественно мышлению». Зенон, как последователь Парменида, придумал свои апории с одной целью: показать иллюзорность мышления (и бытия), которым мы ограничены. Эти апории хорошо известны. Самой популярной из них является, пожалуй, история Ахиллеса и черепахи. Эпический воин Ахиллес и символ медлительности в животном мире – черепаха стартуют в один и тот же момент времени, но при этом черепаха находится на некотором расстоянии S₁ впереди героя Илиады. За время Δt, пока Ахиллес преодолевает этот отрезок, черепаха тоже успевает проползти некоторый новый отрезок пути S₂. Когда Ахиллес одолеет и его, черепаха опять отползет на расстояние S₃ и т.д. Кажется, Ахиллесу никогда не догнать черепаху.

Процитируем высказывания некоторых математиков об этой апории.