Иллюзия пользователя. Урезание сознания в размерах

«Большинство математиков, возможно, предпочли бы ограничить разглашение информации о текущем статусе математики «членами семьи», — писал в 1980 году Морис Клайн в своем предисловии к книге о том, как математика теряет уверенность. — Если об этих проблемах узнает общественность, это будет так же нехорошо, как распространять сведения о чьих-то проблемах в браке».

И действительно, в течение многих последних лет прошло несколько волн кризиса. Последовательность этих событий подытожил Руди Рукер в своей книге, опубликованной в 1987 году: «Теорема Геделя показывает, что человеческая мысль является более сложной и менее механической, нежели мы могли ранее полагать. Но после первоначального волнения 30-х годов результат свелся к небольшому количеству технической математики. Теорема Геделя стала частной собственностью представителей математической логики, и многие из этих академиков впадают в высокомерие при любом предположении о том, что эта теорема может иметь какое-то значение для реального мира».

Философы тоже не слишком преуспели, хотя в начале 30-х годов польский философ Альфред Тарский действительно представил сходные с Геделем аргументы, демонстрирующие, что мы никогда не сможем вывести истины из системы, находясь внутри нее.

Но теорема Геделя все же стала широко известной, и не в последнюю очередь потому, что в 1979 году американский ученый-компьютерщик Дуглас Хофстадтер опубликовал очень красивую, очень сложную и очень знаменитую книгу «Godel, Escher, Bach и Kомпания», в которой он указывает на духовное родство Иоганна Себастьяна Баха (1685–1750), чью музыку современники находили чересчур «математической», графического художника Мориса Эшера (1898–1972), до сих пор не вполне признанного коллегами, и Курта Геделя (1906–1978), информация о котором только сейчас распространяется в широких кругах.

Существовала и другая причина, почему мир начал замечать Геделя: стало ясно, что феномен, на который он указал, не был ограничен только странными парадоксами древних греков. Недоказуемость и неразрешимость являются фундаментальными характеристиками нашего мира.

Дальнейшее развитие теоремы Геделя в 60-е годы шло под различными названиями — теория алгоритмической информации, алгоритмическая степень интеграции, алгоритмическая случайность. Но какое бы название мы ни выбрали, отцов-основателей этого направления было три: Рэй Соломонофф, Андрей Холмогоров и Грегори Чаитин.

Сложно? На самом деле все не так сложно, как кажется. На самом деле с помощью этой теории можно гораздо проще выразить то, что открыли Гедель и его последователи. Она дает нам разумное определение того, чем на самом деле является случайность — а это важно, так как это дает нам намек на то, что такое порядок.

Отправной точкой здесь являются числа. Что такое случайное число? Так как все три эти джентльмена были математиками, у них была склонность к бинарным числам — то есть числам, которые состоят только из нулей и единиц: 010110100110 …

Такие числа сложно воспринимать визуально — но если перед ними поставить запятую, то они будут выглядеть как старые добрые десятичные дроби: 0.10110100110. Является ли это число случайным? На самом деле мы просто записали серию случайных двоичных цифр. Но была ли это просто случайность?

Мы могли с таким же успехом 12 раз бросить монетку, обозначив «орла» как 1 и «решку» как 0. В этом случае, конечно, число было бы случайным? Можем попробовать: 100010000111 — нет, никакого обмана: мы бросили монетку 12 раз. Но если мы сделаем это еще раз, число, конечно, будет другим: 110011010000.

Конечно, можно было сделать и что-то совсем другое. К примеру, можно было устроить проверку нашего знания бинарных номеров, написав, допустим, 0.010101010101.

Вот это уже не кажется случайным — это последовательность 01. Такую последовательность можно было выразить проще: 0 точка 6 раз 01. Но на самом деле этот пример довольно хитрый, так как выразить данное число можно даже более кратко: это бинарное представление 1/3.

Смысл заключается в том, что определенные числа могут быть представлены в гораздо более краткой форме. К примеру, 111111111111111111 можно записать как «18 раз единица».

Если использовать десятичную систему, 0.42857142857 можно записать как 3/7, а 1234567891011121314151617181920 как «последовательность цифр от 1 до 20».

Но могут ли последовательности, которые мы получаем, бросая монетку, также быть записаны в краткой форме? Нет, не могут. Ведь они в сущности являются информацией о 12 последовательных событиях, полностью независимых друг от друга. Не существует системы, которая могла бы определить, появится ли в следующей позиции 0 или 1. Да, мы вполне можем ожидать, что много раз выпадут нули или единицы, а вся последовательность при этом будет состоять примерно из одинакового количества тех и других, так как мы ожидаем выпадения «орлов» и «решек» с примерно одинаковой вероятностью. Однако порядок их будет произвольным. В нем не будет системы.