Индия в древности

Первые известные арифметические правила в новой системе счисления были сформулированы крупнейшим математиком и астрономом Арьябхатой. Поэтому можно считать, что она была создана не позднее V в. н. э. Уже в середине VII в. сведения о десятичной позиционной системе счисления проникают на Запад. Свидетельством этого являются слова сирийского епископа Севера Себохта: «Я не буду говорить об эрудиции индийцев… об их глубоких открытиях в астрономии, открытиях более важных, чем даже у греков и вавилонян, об их разумной системе в математике или их методе счета, для восхваления которого нет достаточно сильных слов: я имею в виду систему использования девяти знаков»[2177].

Эта система оказалась наиболее совершенной из всех существовавших в древности. Получившие всеобщее распространение «арабские» цифры на самом деле заимствованы арабами у индийцев; арабы и другие мусульманские народы называли их «индийскими». «Те цифры, которыми пользуемся мы, — писал Бируни, — взяты из самых красивых имеющихся у индийцев цифр»[2178].

В рассматриваемый период индийские ученые умели производить все основные действия с простыми дробями (в частности, они первыми стали записывать их именно так, как это делается сейчас: числитель вверху, знаменатель внизу), вычислять простые и сложные проценты, возводить числа в квадрат и куб, извлекать квадратные и кубические корни, использовать в вычислениях тройное правило, решать квадратные уравнения; они заложили основы тригонометрии и пользовались при астрономических вычислениях таблицей синусов.

Среди математиков классического периода необходимо назвать имя Арьябхаты[2179]. О значимости его труда «Арьябхатии» свидетельствует тот факт, что это сочинение являлось объектом изучения на протяжении многих столетий: последние комментарии к нему были созданы в середине прошлого века. Сочинение Арьябхаты анализировали и цитировали почти все крупные индийские ученые древности и средневековья. Математическая часть трактата, очень разнообразная по структуре, содержит много плодотворных идей, подхваченных и развитых последующими учеными как в самой Индии, так и за ее пределами. Это первое специальное научное математическое сочинение индийцев: многие математические правила дошли до нас именно в изложении Арьябхаты. Уже отмечалось, что он сформулировал первые правила в десятичной позиционной системе счисления — правила извлечения квадратного и кубического корней. Примечательно, что прием извлечения корней, которым пользуются сегодня в математике, по существу, не отличается от излагаемого Арьябхатой. В трактате имеется несколько задач, сводящихся к решению линейного уравнения с одним неизвестным. Среди них знаменитая «задача о курьерах», вошедшая в дальнейшем в мировую алгебраическую литературу. В ней требуется определить время встречи двух небесных светил, расстояния между которыми и скорости движения которых известны; решение, предложенное индийским ученым, практически не отличается от современного метода. Ряд задач в труде Арьябхаты говорит о знании квадратных уравнений, например задачи на нахождение числа членов арифметической прогрессии и на сложные проценты. Показательно, что задача на сложные проценты, как и «задача о курьерах», приводилась многими учеными не только в средние века, но и в новое время. С аналогичной задачи на сложные проценты начинал раздел о квадратных уравнениях в своем учебнике по алгебре известный французский математик и механик А.Клеро (1746).

Арьябхата внес огромный вклад в развитие теории чисел, и в частности в решение неопределенных уравнений. Первый толчок к постановке этой проблемы в Индии дали календарно-астрономические задачи, в которых нужно было определять периоды повторения одинаковых относительных положений небесных тел — Солнца, Луны, планет с различными периодами обращения. Задача сводилась к отысканию целых чисел, дающих при делении на данные числа данные остатки, т. е. удовлетворяющих неопределенным линейным уравнениям и их системам.

Неопределенными уравнениями занимался греческий математик Диофант (III в. н. э.), который искал лишь рациональные решения. Начиная с Арьябхаты индийцы давали решение этих уравнений в целых положительных числах. Вряд ли здесь можно говорить о прямом греческом воздействии на науку Индии — ученые двух культур пришли к теоретико-числовым проблемам, исходя из разных проблем, да и сами методы были различными.

Арьябхата первым в мировой математической литературе изложил приемы решения в целых положительных числах неопределенного уравнения первой степени вида ax + b = cy. Более подробно решение этим методом изложено в трудах другого крупнейшего индийского математика и астронома — Брахмагупты (VII в. н. э.).