Индия в древности

Важное место в индийской математике занимали задачи на простое и сложное тройное правило. Хотя его знали уже египтяне и греки, индийские математики впервые выделили его в специальный арифметический прием и разработали схемы к задачам, содержащим несколько связанных пропорциями величин. Брахмагупта и позднейшие ученые добавили обратное тройное правило и правила 5, 7, 9 и 11 величин. Из Индии эти правила распространились в страны Ближнего Востока и оттуда в Западную Европу.

В алгебре крупнейшим достижением индийских математиков явилось создание развитой символики, гораздо более богатой, чем у греческих ученых. В Индии впервые появились особые знаки для нескольких неизвестных, свободного члена уравнения, степеней. Символами служили первый слог или буква соответствующего санскритского слова.

Начиная с Брахмагупты индийские математики стали широко оперировать отрицательными величинами, трактуя положительные числа как некое имущество, а отрицательные числа — как долг. Брахмагупта описывал все правила действий с отрицательными числами, хотя ему и не была известна двузначность при извлечении квадратного корня. Позднее индийские математики достигли огромных успехов в решении общего неопределенного уравнения второй степени с двумя неизвестными, решение которого давалось в целых положительных числах, а также в разработке отдельных задач дифференциального и интегрального исчисления. Значение π Арьябхата принимал равным 3,1416, что свидетельствует о большой точности вычислительных методов. Достижения индийских математиков были восприняты учеными арабского мира, получили широкую известность на средневековом Востоке, оказали влияние и на европейскую математику[2180].

Наиболее значительным достижением индийской астрономии рассматриваемой эпохи явился труд Арьябхаты «Арьябхатия»[2181]. Среди высказанных им астрономических идей исключительную важность имеет идея движения Земли вокруг своей оси при неподвижности звездного неба. Эта новаторская позиция резко расходилась с ортодоксальными установлениями и нормами, и не случайно теория Арьябхаты о вращении Земли была резко осуждена жречеством и ортодоксальными учеными[2182].

Высоко оценивая это открытие индийского ученого, надо, однако, иметь в виду, что Арьябхата рассматривал движение Земли возможным лишь теоретически; в своих же практических расчетах он исходил из неподвижности Земли. Его рассуждения можно рассматривать как соображения об относительном характере движения.

Арьябхата разработал также теорию солнечных и лунных затмений, указывая, что при солнечном затмении Земля попадает в тень, отбрасываемую Луной, а при лунных затмениях Луна попадает в тень Земли. «Когда в конце истинного лунного месяца (т. е. в новолуние. — Авт.) Луна, находясь вблизи одной из точек пересечения орбит (Луны и Солнца), заслоняет Солнце или когда в конце половины месяца (т. е. в полнолуние. — Авт.) Луна входит в тень Земли, это есть середина затмения; они происходят иногда до, а иногда после конца истинного лунного месяца или половины месяца» (Арьябхатия IV.38). Эта теория сразу же вызвала резкие нападки на ученого со стороны жречества и даже многих крупных ученых, ибо Арьябхата посягнул на одно из космогонических учений брахманизма и индуизма. Так, Брахмагупта гневно писал о том, что мнение Арьябхаты чуждо ведам, смрити и самхитам[2183]. В целом труд Арьябхаты содержит многие рационалистические идеи, что позволяет соотнести некоторые взгляды ученого с позицией локаятиков — древнеиндийских материалистов.

Сведения по истории астрономии рассматриваемого периода мы черпаем также из пяти сиддхант («научных трактатов»), которые на протяжении многих последующих веков изучались, комментировались, перерабатывались. Эти сиддханты подробно описаны и разобраны в трактате Варахамихиры «Панча-сиддхантика»[2184]. Время их составления датируется III–IV вв. н. э. Варахамихира разбирает следующие пять сиддхант: «Пайтамаха-сиддханта», «Васиштха-сиддханта», «Паулиша-сиддханта», «Ромака-сиддханта», «Сурья-сиддханта». Бируни ссылается на слова Брахмагупты: «Сиддханты многочисленны; в их числе: „Сурья“, „Инду“, „Паулиша“, „Ромака“, „Васиштха“ и „Явана“, т. е. „греческая“; несмотря на многочисленность, сиддханты отличаются только словами, но не по смыслу. И тот, кто разберется в них как следует, поймет, что они совпадают друг с другом»[2185].