Инженерная эвристика

С. Ёлкин. Ну, давайте уж идти до конца! Это значит, и понятие «проходить» тоже не определено. То есть не определены все слова, из которых состоит аксиома! Вы утверждаете, что математика занимается отношениями, а понятие «отношение» определено? Нельзя слепо доверять классикам, хотя бы потому, что сами классики не доверяли своим предшественникам, тоже классикам. Кстати мне тоже можете не доверять, хотя я пока не классик!

А. Трушечкин. Да, совершенно верно, я об этом выше написал, что и сами отношения не определены. Просто постулируется, что они имеются. Не определены все слова, из которых состоит аксиома!

В аксиомах понятия не определяются, а вводятся. В аксиомах геометрии вводится, что есть такие понятия, как «точка» и «прямая», и между ними существует отношение принадлежности. Далее аксиомы фиксируют правила работы с этими понятиями, утверждения, связанные с ними. И дальше математик работает.

А наполнение всей этой абстрактной конструкции конкретным смыслом (из физики, из жизни) — это уже другой вопрос.

В современной математике принято различать язык и метаязык (язык над языком). Как сказано выше, аксиомы вводят определённый язык, с которым дальше можно работать, составлять на этом языке какие-то фразы, предложения. Но чтобы сформулировать эти аксиомы, мы уже должны на каком-то языке разговаривать. В данном случае это естественный язык — русский (мы), немецкий (Гильберт), древнегреческий (Евклид) и т. д.

Метаязык — это язык, с помощью которого вводится интересующий нас язык (язык геометрии). В дальнейшем понятия из языка и из метаязыка не должны смешиваться. Сформулировали по-русски аксиомы геометрии — а дальше, работая с геометрией, мы используем только понятия и правила языка геометрии. Именно в этом смысле математика — наука строгая и однозначная.

Так вот «отношение» в данном контексте — это слово из метаязыка. Иначе говоря, в данном случае оно не принадлежит самой математике (геометрии), а принадлежит русскому языку.

Хотя известно, что есть раздел математики «исчисление отношений». Здесь отношение становится уже математическим объектом. Если можно так выразиться, исчисление отношений занимается отношениями между отношениями!

С. Ёлкин. Скажите, если я начну вводить понятия геометрии на таукитянском языке, то вы поймёте и сможете развивать геометрию? Не будем затягивать, ответ очевиден… Нет!

То есть вам для формулировки строгой и однозначной математики нужен хоть какой-то, но язык, а он не может быть точным и строгим по своей природе. Отсюда считаю, что доказал утверждение Жубера об исчезновении аксиом. Либо аксиомы неоднозначны и нестроги, либо они лишены содержания. А вещь без содержания ничто.

Очень похоже на теорему К. Гёделя: «Либо математика не полна, либо противоречива». Для доказательства очевидной вещи Курт Гёдель написал том страниц на триста, а в конце концов всё равно использовал парадоксальное утверждение: «я (теорема) недоказуема».

А. Трушечкин. Метод математики: отгородиться от нестрогого естественного языка, создав (на этом языке) специфический узкий язык со строгими правилами и запретив дальнейшее примешивание нашего языка к математическим рассуждениям.

Жубер, с которого начался диспут, в сущности, сказал не то, что наш язык неоднозначен (это очевидно), а то, что если бы он был однозначным, мы бы лишились не только поэзии и эстетики, но даже и аксиом. Вопрос, как я понимаю, в том, смогли ли бы мы сформулировать аксиомы, если бы наш язык был однозначным? Например, писать стихи точно не смогли бы. Моё предположение: если б наш язык был однозначным, в аксиомах бы, возможно, не было нужды. Поэтому бы их и не было.

Гёделю как раз и потребовалось триста страниц, чтобы математически сформулировать теорему, утверждающую о собственной недоказуемости, доказать, что такая теорема в самом деле существует.

Пока мы пришли к выводу, что для формулировки аксиом, мы уже должны обладать нашим языком, который по своей природе неточный (иначе не было бы нужды в математическом подходе). И есть разница в утверждениях: «аксиомы неоднозначны и нестроги» и «аксиомы сформулированы на языке, который в принципе (!) допускает неоднозначность и нестрогость».

Если русский язык допускает нестрогость в принципе, это не значит, что она присутствует в любой фразе. Когда я говорю: «Я иду обедать», то здесь всё однозначно (по крайней мере, если есть соглашение о контексте). Также и с аксиомами: они вводят понятия, с которыми мы будем работать, и правила работы с ними. Сформулированы они однозначно, несмотря на то, что в других ситуациях язык может быть неоднозначным. Скажем так, русский (и любой другой естественный) язык — очень богатый, он обычно работает в «неоднозначном режиме», но допускает и специальный «однозначный режим». Математика — это и есть этот «однозначный режим».

С. Ёлкин. Что такое «специальный режим для русского языка»? Ни в одной книжке по лингвистике я не обнаружил какого-то особенного специального режима для русского или иного языков.