Искатели необычайных автографов

— Пора бы забыть о прежней берлоге, — ревниво замечает Фило.

— Не могу, — вздыхает Мате. — С тех пор как мы с вами съехались, нет-нет да и вспомню. Там было так уютно!

Фило презрительно фыркает. Кто любит арбуз, а кто свиной хрящик… Но Асмодей решительно возвращает филоматиков к разговору о кнопках: спасение, по его словам, именно в них.

— Задача, стало быть, состоит в том, чтобы нажать нужную, — соображает Фило. — Так ведь это же очень просто! Сколько их тут?

— У северной и южной дверей — по восьми, у восточной и западной — по четырнадцати, мсье.

— Итого сорок четыре. Перепробуем все — авось какая-нибудь сработает.

— Вы меня не дослушали, мсье, — возражает черт, — а украинская поговорка недаром советует поперед батьки в пекло не лезть. Между прочим, в преисподней этот афоризм пользуется огромным успехом. Ко-ко!.. Так вот, выбраться отсюда не так-то просто. Прежде всего из четырех дверей надо отобрать три. Помимо того, у каждой из этих трех можно нажать только одну кнопку, причем двери эти должны следовать одна за другой — перескакивать нельзя! А выйдем мы отсюда только в том случае, если из Трех нажатых кнопок угадаем две, расположенные у соседних дверей.

Фило безнадежно машет рукой. Ну и задачка! Попробуй тут угадай, с какой двери выгодней начинать…

— Зачем же гадать, мсье? Достаточно подумать.

— Тогда, наверное, лучше начинать с той, где кнопок меньше.

— Почему? — интересуется Мате.

— Чем меньше кнопок, тем больше вероятность угадывания. Кроме того, в этом случае двери с наименьшим числом кнопок нам встретятся дважды, а с наибольшим — только единожды. Логично?

— Логично, но… неправильно.

Мате берет блокнот и вычерчивает круг с четырьмя проемами.

— Допустим, мы начинаем с северной двери, где кнопок меньше, и угадываем нужную кнопку, но зато просчитываемся на следующей, восточной. Что нас ждет в этом случае?

— Сидеть нам здесь до второго пришествия, мсье.

— Правильно, Асмодей. Если же начать с восточной или западной, где кнопок больше, то, даже просчитавшись на ней, мы все-таки можем угадать кнопки у двух последующих: когда у средней двери из трех выбранных число кнопок меньше, общая вероятность удачи возрастает.

— Ха, ха и в третий раз ха! — выходит из себя Фило. — По-вашему, две трудные двери и одна полегче лучше, чем две полегче и одна трудная? Ну, знаете! Это еще надо доказать.

— И докажу. — Мате снова берет свой чертеж и начинает рассуждать. — Как всегда, прибегнем к таблице и условимся передвигаться по часовой стрелке. Тогда у нас есть два варианта: СВЮ (мы начинаем с северной двери) и ВЮЗ (начинаем с восточной). В каждом из этих вариантов возможны только три благоприятных случая. Рассмотрим их, обозначив буквами а, б, в, а вероятности отгадывания — через латинские р₁ для варианта СВЮ и p₂ для варианта ВЮЗ. Итак, в обоих вариантах благоприятные случаи такие:

а) кнопки у всех трех дверей угаданы;

б) угаданы кнопки только у первых двух дверей и

в) угаданы кнопки у второй и третьей двери.

Вероятность угадать кнопку у северной и южной дверей равна 1/8 восточной 1/14. И так как угадывание кнопок у любой двери не зависит от результатов предыдущих угадываний, то в каждом из трех случаев вероятность равна произведению частных. Тогда в случае «а» варианта СВЮ: p₁ = 1/8 × 1/14 × 1/8, что равняется 1/896. Понятно?

— Пока да. Но вот откуда в варианте «б» у вас появилось 7/8?

— Раз вы так наблюдательны, значит, должны были заметить, что 7/8 — это вероятность неугадывания. Ведь если вероятность угадывания равна 1/8, то вероятность неугадывания, естественно, равна 1 —1/8, то есть 7/8. Ну, а теперь нетрудно найти вероятность для всех трех случаев. Надо только сложить вероятности каждого.

— Позвольте, позвольте, — возражает Фило. — То вы перемножали, а теперь вдруг складываете…

— Что же вас смущает? Умножал я потому, что угадывания кнопок у каждой двери не зависят друг от друга и, стало быть, совместимы. Но ведь три случая (а, б, в) не могут произойти одновременно. Значит, к ним применима теорема сложения, а не умножения вероятностей. Теперь ясно? Отлично. В таком разе покончим с нашей задачей, вычислив общую вероятность для каждого варианта в отдельности: р₁ = 15/896; p₂ = 27/1568. Иначе говоря, р₁ = 210/12544 а p₂= 216/12544. Так кто же был прав? Я или вы?

Фило оскорбленно таращится на таблицу. Не все ли равно, что стоит в числителе — 210 или 216 — при таком-то огромном знаменателе? В обоих случаях вероятность угадывания смехотворно мала.

— Следовало ожидать, мсье, — говорит бес, небрежно поигрывая тросточкой.

— Вот как! — вскипает Фило. — Выходит, вы знали об этом заранее? Зачем же я как дурак решаю ваши задачи, если они все равно дверей не откроют?

— Для тренировки, мсье. Для усовершенствования вашего математического мышления.

— Не хочу мышления! — буйствует Фило. — Хочу к Монтальту! Хочу, чтобы открылись двери!

Асмодей оставляет наконец в покое свою тросточку и шумно вздыхает. Ничего не поделаешь! Если мсье так уж не терпится, двери можно открыть и другим способом.