Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни

Оказывается, примеры тесного мира дает поразительно большое количество сетей. Речь идет не только о наших социальных или интернет-связях. Нейронные связи в любых организмах, от червя-нематоды C. elegans, имеющего всего 302 нервных узла, до человека, мозг которого содержит 86 миллиардов нейронов, по-видимому, образуют сети типа тесного мира. Это позволяет каждому нейрону такой системы быстро обмениваться сигналами с любым другим нейроном через небольшое количество синапсов. К категории тесного мира относятся и электроэнергетические сети, равно как и сети аэропортов и пищевые сети. Что же делает все эти сети тесными мирами?

Рис. 9.5. Пример сети тесного мира

Эту тайну раскрыли два математика, Дункан Ваттс и Стивен Строгац, написавшие о ней в статье, опубликованной в 1998 году в журнале Nature[122]. Если взять набор узлов и создать локальные связи между узлами, расположенными близко друг к другу, получится картина, похожая на нашу окружность, в которой соединение случайно выбранных узлов в разных частях сети требует длинных цепочек. Однако Ваттс и Строгац установили, что для появления шорткатов бывает достаточно всего нескольких глобальных связей, пересекающих всю сеть. Допустим, все жители Бостона знакомы друг с другом, но потом оказывается, что у кого-то из бостонцев есть тетка, живущая в Канзасе. Это дает возможность установить более глобальное соединение между этими двумя локальными сообществами. Такую же структуру мы находим в организме червя C. elegans. Нейроны расположены по окружности, но между далекими друг от друга нейронами есть связи, пересекающие эту окружность. По-видимому, и человеческий мозг имеет сходную архитектуру. В нем тоже есть множество локальных соединений и немногочисленные длинные синапсы, связывающие друг с другом разные части мозга.

Подобным же образом устроены сети аэропортов: несколько узловых аэропортов соединяют разные точки мира дальними рейсами. В дополнение к ним в каждом регионе есть много ближних рейсов, которые обеспечивают перевозки из узловых аэропортов в местные пункты.

При помощи своей математической модели Ваттс и Строгац смогли показать, что в сети с такой локально-глобальной конфигурацией и N узлами, в которой каждый из узлов связан с K другими, средняя длина пути между двумя произвольными точками определяется формулой

log N/log K,

где log – логарифмическая функция, которую Джон Непер придумал в качестве вычислительного шортката. Если взять N равное 6,6 миллиарда и предположить, что у каждого человека есть 30 знакомых, число рукопожатий получается равным… 6,6.

При построении сети – будь то сеть социальная, физическая или виртуальная – часто бывает желательно иметь шорткаты через паутину соединений. Но теперь мы знаем, как разрабатывать такие системы. Чтобы создать сеть, обладающую свойством тесного мира – этими поразительными шорткатами от одного края сети к другому, – нужно добавить в нее такой случайно выбранный пучок глобальных связей, и это, по-видимому, приводит к требуемому результату.

Мозг Гаусса

Гаусс умер в 1855 году, распорядившись, чтобы его мозг был передан для научных исследований. Препарированием мозга занялся его друг и коллега физиолог Рудольф Вагнер из Геттингенского университета: он хотел узнать, были ли у мозга Гаусса какие-либо особенности, благодаря которым тот получил такие способности к созданию математических шорткатов. Эта работа была частью более крупного проекта, проводившегося в университете. Целью этого проекта было выяснить, есть ли какие-либо различия в строении мозга представителей научной элиты и простых обывателей. Не останавливаясь на измерениях объема, веса и тому подобных очевидных параметров, Вагнер утверждал, что кора мозга Гаусса имеет больше извилин, чем в обычном мозге.

Работу Вагнера дополняли гравюры на меди и литографии, подготовленные одним из его сотрудников. Недавно исследовательская группа из Геттингена подтвердила, используя современные методы фМРТ высокого разрешения, что между двумя областями левого полушария мозга Гаусса действительно была довольно необычная связность. Однако той же группе пришлось разбираться со странной путаницей, обнаруженной в коллекции этих материалов. Оказывается, мозг, который много лет считали мозгом Гаусса, на самом деле принадлежал другому представителю научной элиты Геттингена, Конраду Генриху Фуксу, умершему в том же году, что и Гаусс. По-видимому, образцы были перепутаны уже после исследований Вагнера и создания изображений. Путаница обнаружилась, только когда исследователи сравнили результаты фМРТ-сканирования с исходными рисунками.

Начатый в Геттингене XIX века проект изучения строения мозга выдающихся мыслителей продолжается и по сей день. Недавно мозг скончавшихся ученых – «супернормалов», как их называют в лаборатории, – исследовали на кафедре анатомии университета Луисвилла, штат Кентукки. Руководивший этим исследованием профессор Мануэль Казанова обнаружил в мозге профессиональных ученых некоторые структурные отличия.