Исследование психологии процесса изобретения в области математики

Пример такого типа известен в истории науки, он был дан Эйлером, чтобы объяснить шведской[74] принцессе свойства силлогизмов. Эйлер представляет общие идеи кругами; если мы должны думать о двух категориях вещей A и B так, что каждая вещь A есть B, мы представляем себе круг A внутри круга B. Если, напротив, никакой элемент A не B, мы представляем себе круг A целиком вне круга B; если же, наконец, лишь некоторые элементы A суть B, то два круга должны пересекаться.

Итак, если я должен думать о каком-нибудь силлогизме, я о нём думаю не словами — слова мне не позволили бы понять, правилен ли силлогизм или ложен, — а с помощью интерпретации, аналогичной интерпретации Эйлера, пользуясь, однако, не кругами, а какими-то пятнами неопределённой формы, так как для того, чтобы представлять себе эти пятна находящимися одно внутри или вне другого, я не должен их видеть имеющими строго определённую форму.

Чтобы рассмотреть несколько менее тривиальный случай, возьмём элементарное и хорошо известное доказательство теоремы: «Последовательность простых чисел не ограничена». Я повторю последовательные этапы классического доказательства этой теоремы, записывая рядом с каждым из них соответствующий образ, возникающий в моём мозгу. Например, нам нужно доказать, что существует простое число, большее 11:

Этапы доказательства

Мои умственные образы

Я рассматриваю все простые числа от 2 до 11, то есть 2, 3, 5, 7, 11.

Я вижу неопределённую массу.

Я образую их произведение 2·3·5·7·11 = N.

Так как N — число достаточно большое, я представляю себе точку, достаточно далеко удалённую от этой массы.

Я прибавляю к этому произведению 1 и получаю N+1.

Я вижу вторую точку, недалеко от первой.

Это число, если не является простым, должно иметь простой делитель, который и является искомым.

Я вижу некоторое место, расположенное между неопределённой массой и первой точкой.

Какая может быть польза от такого странного и неопределённого представления? Оно, конечно, не используется здесь для того, чтобы напомнить мне какое-нибудь свойство делимости, так как всякая информация, данная таким образом, могла бы оказаться неточной и сбить меня с пути. Этот механизм удовлетворяет, таким образом, условию б), поставленному выше. Наоборот, это условие лишь частично выполняется при гипотезе Бинэ: уточнять бессознательные идеи всегда связано с риском их исказить.

Но в то же время можно легко понять, почему мне мог быть необходим механизм такого типа для понимания доказательства, приведённого выше. Он мне необходим для того, чтобы единым взглядом охватить все элементы рассуждения, чтобы их объединить в одно целое — наконец, чтобы достичь того синтеза, о котором мы говорили в начале этой главы, и чтобы придать проблеме своё лицо. Этот механизм не раскрывает мне ни одного звена в цепи рассуждения (т. е. не содержит никаких свойств делимости или простых чисел), но он мне напоминает о том, как эти звенья должны быть соединены. Если мы ещё раз обратимся к сравнению Пуанкаре, то скажем, что это представление необходимо для того, чтобы не потерять уже полученные полезные комбинации.

Фактически всякое математическое исследование принуждает меня строить аналогичную схему, которая всегда носит и должна носить неопределённый характер, чтобы не сбить с пути. Я приведу менее элементарный пример, взятый из моих ранних исследований (моя диссертация): я должен был рассмотреть сумму бесконечного числа слагаемых и оценить порядок её величины. Итак, когда я обдумываю этот вопрос, я вижу не собственно формулу, а место, которое она бы занимала, если бы её написали: нечто вроде ленты, более широкой или более тёмной в местах, соответствующих членам, которые могут оказаться существенными, или же я вижу нечто вроде формулы, прочесть которую, однако, невозможно, как будто бы я смотрю без очков (у меня сильная дальнозоркость), причём в этой формуле буквы немного более отчётливы в местах, которые предполагаются более важными (хотя их также невозможно прочесть).

Друзья мне говорили, что у меня был особый взгляд, когда я занимался математическими исследованиями. Я не сомневаюсь, что это явление сопровождает, прежде всего, построение требуемой схемы.