Истина и красота. Всемирная история симметрии.

Например, симметрии эвклидовой геометрии — это те преобразования плоскости, которые сохраняют длины, углы, линии и окружности. Они составляют группу всех движений плоскости без деформаций. Наоборот, что-нибудь, инвариантное относительно таких движений, естественно попадает в сферу действия эвклидовой геометрии. Неэвклидовы геометрии просто используют иные группы преобразований.

Зачем же тогда трудиться, чтобы конвертировать геометрию в теорию групп? Дело в том, что это дает два разных способа думать о геометрии, а также два разных способа думать о группах. Иногда вещи легче понять одним способом, иногда другим. Две точки зрения лучше одной.

Отношения между Францией и Пруссией быстро ухудшались. Император Наполеон III рассчитывал поддержать свою падающую популярность, начав войну с Пруссией. Бисмарк отправил французам телеграмму провокационного содержания, и 19 июля 1870 года была объявлена Франко-Прусская война. Клейн — пруссак в Париже — счел за лучшее вернуться в Берлин.

Однако Ли был норвежцем и очень ценил свое пребывание в Париже, поэтому решил там остаться. Потом, правда, осознав, что Франция проигрывает войну и немецкая армия движется на Метц, он передумал: хотя он и был гражданином нейтральной страны, оставаться в потенциальной зоне боевых действий было небезопасно.

Ли решил отправиться в путешествие пешком и направил свои стопы в Италию. Ушел он, однако, недалеко; французские власти схватили его у Фонтенбло, примерно в 25 милях к юго-востоку от Парижа; при нем находилось некоторое количество документов, испещренных нечитабельными символами. Поскольку они, очевидно, представляли собой шифр и было совершенно ясно, что Ли шпионил в пользу немцев, его поместили под арест. Потребовалось вмешательство ведущего французского математика Гастона Дарбу, чтобы убедить власти в математическом содержании записок. Ли был отпущен из тюрьмы, французская армия сдалась, немцы начали осаду Парижа, а Ли снова отправился в Италию — на этот раз успешно. Оттуда он вернулся в Норвегию. По пути он случайно повстречался с Клейном, отсиживавшимся в Берлине.

В 1872 году Ли защитил диссертацию. Норвежская академическая среда была настолько потрясена его работами, что университет Христиании в том же году специально для него создал новую должность. Со своим бывшим учителем Людвигом Силовом они взялись за издание собрания сочинений Абеля. В 1874 году Ли женился на Анне Бирх; всего у них было трое детей.

Теперь Ли сосредоточился на конкретной задаче, представлявшейся ему заслуживающей внимания. В математике имеется много видов уравнений, но особенно важны два. Первый — это алгебраические уравнения типа тех, что так эффективно изучали Абель и Галуа. Второй вид — это дифференциальные уравнения, введенные Ньютоном в его работе о законах природы. Такие уравнения включают в себя концепции из анализа и оперируют не самими физическими величинами, а тем, как эти величины изменяются с течением времени. Более точно — они задают скорость изменения величин. Например, наиболее важный закон движения Ньютона гласит, что ускорение тела пропорционально полной силе, действующей на него. Ускорение есть скорость изменения скорости. Вместо того чтобы непосредственно сообщить нам, какова скорость тела, закон говорит, какова скорость изменения скорости. Аналогичным образом другое уравнение, выведенное Ньютоном для объяснения того, как изменяется температура тела при остывании, говорит, что скорость изменения температуры пропорциональна разности между температурой тела и температурой окружающей среды.

Наиболее важные уравнения в физике — те, что имеют дело с потоками жидкости, действием гравитации, движением планет, переносом тепла, распространением волн, действием магнетизма, распространением света и звука — это дифференциальные уравнения. Как впервые понял Ньютон, закономерности природы, как правило, принимают более простой вид и их легче сформулировать, если смотреть на скорости изменения величин, а не на сами интересующие нас величины [44].

Ли задал себе фундаментальный вопрос. Имеется ли для дифференциальных уравнений теория, аналогичная теории Галуа для алгебраических уравнений? Есть ли способ установить, когда дифференциальное уравнение можно решить заданными методами?

Ключевую роль здесь снова сыграла симметрия. Ли осознал, что некоторые из его результатов по геометрии можно было реинтерпретировать в терминах дифференциальных уравнений. К заданному решению конкретного дифференциального уравнения Ли мог применить преобразование (из конкретной группы) и доказать, что результат также является решением. Из одного решения получается много, причем все они связаны группой. Другими словами, группа состоит из симметрий данного дифференциального уравнения.

Здесь содержался прозрачный намек, что нечто прекрасное ожидало своего открытия. Вспомним о применениях симметрий, которые Галуа реализовал для алгебраических уравнений! А теперь представим себе нечто подобное для куда более важного класса дифференциальных уравнений!