Истина и красота. Всемирная история симметрии

Способ, которым я представил эти доказательства, скрывает более глубокую структуру. С более абстрактной точки зрения решения этих двух задач Античности Ванцелем сводятся к симметрийным аргументам: группы Галуа уравнений, которые отвечают геометрии, имеют «неправильную» структуру для построений циркулем и линейкой. Ванцель был хорошо знаком с группами Галуа и в 1845 году нашел новое доказательство того факта, что некоторые алгебраические уравнения нельзя решить в радикалах. Доказательство близко следовало идеям Руффини и Абеля, но позволяло упростить эти идеи и выразить их более ясно. Во введении Ванцель пишет:

Хотя доказательство [Абеля] в итоге является верным, оно представлено в настолько сложном и неясном виде, что не получило всеобщего признания. За много лет до того Руффини… рассматривал тот же вопрос еще более туманным способом… Размышляя о работах этих двух математиков, мы пришли к доказательству, представляющемуся настолько строгим, что оно устраняет все сомнения касательно этой важной части теории уравнений.

Единственной остающейся задачей Античности была квадратура круга, сводящаяся к построению отрезка, длина которого была бы точно равна π. Доказать невозможность такого построения оказалось намного сложнее. Почему? Дело не в том, что у числа π минимальный многочлен неправильной степени, а в том, что, как оказалось, у него вообще нет минимального многочлена — нет такого полиномиального уравнения с рациональными коэффициентами, корень которого был бы равен π. Таким корнем может быть число, сколь угодно близкое к π, но невозможно получить в качестве корня точно число π.

Математики девятнадцатого столетия осознавали, что различие между рациональными и иррациональными числами можно было с пользой для себя сделать более тонким. Имелись иррациональные числа различных видов. Относительно «ручные» иррациональности, подобные √2, нельзя точно выразить в виде дроби (т.е. записать как рациональное число), но их можно представить, используя рациональные числа. Они удовлетворяют уравнениям, коэффициенты которых — рациональные числа; в случае числа √2 это уравнение x² − 2 = 0. Про такие числа говорят, что они алгебраические. Но математики осознали, что в принципе могут существовать иррациональные числа, не являющиеся алгебраическими, связь которых с рациональными числами намного менее прямая, чем для алгебраических чисел. Они во всем выходили за границы царства рациональности.

Самый первый вопрос состоял в том, действительно ли такие «трансцендентные» числа существуют[31]? Греки полагали, что все числа могут быть рациональными, пока Гиппас не развеял эти иллюзии, а Пифагор, как говорят, пришел в такое негодование, что велел выбросить за борт гонца, принесшего эту весть. (Более вероятно все же, что Гиппаса просто изгнали из пифагорейской школы.) Математикам девятнадцатого столетия было известно, что всякая вера в то, что все числа являются алгебраическими, равным образом должна была привести к трагедии, но в данном случае они довольно долго не могли найти своего Гиппаса. Все, что требовалось, — это доказать, что некоторое конкретное вещественное число — разумным кандидатом было число π — не является алгебраическим. Но уже достаточно трудно доказать, что некоторое число — например, π — иррационально, для чего надо убедиться в том, что не существует ни одной пары целых чисел, которая давала бы π в результате деления одного числа на другое. Чтобы доказать, что некоторое число не является алгебраическим, надо заменить эти гипотетические целые числа на все возможные уравнения любой степени, а затем прийти к противоречию. Дело сильно запутывается.

Первый значительный прогресс был достигнут немецким математиком и астрономом Иоганном Ламбертом в 1768 году. В работе о трансцендентных числах он доказал, что π иррационально, и его метод проложил дорогу всем последующим исследователям. Ламберт существенно использовал идеи из анализа, в особенности концепцию интеграла. (Интеграл заданной функции представляет собой функцию, скорость изменения которой есть исходная функция.) Исходя из предположения, что π в точности равняется некоторой дроби, Ламберт предложил вычислить достаточно сложный интеграл[32] изобретенный им специально для этой цели, куда входили не только многочлены, но и тригонометрические функции. Имеются два разных способа вычисления этого интеграла. Один из них дает в ответе нуль. Другой показывает, что ответ не равен нулю.