История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных

Наша современная десятеричная система счисления — это система со знакоместом на основе 10. Другими словами, десять единиц на одном знакоместе эквивалентны одной единице на следующем, более высоком знакоместе, при этом положение цифры в числе определяет ее значимость. На основании самых ранних записей можно показать, что вавилоняне использовали шестидесятеричную, или базирующуюся на основании 60, систему счисления. Она и поныне живет в нашем способе исчисления времени. Таким образом, например, вавилоняне выразили бы число 75 как «1,15», мы тоже записываем 75 минут как 1 час и 15 минут. Приблизительно за 2000 лет до нашей эры появилась система знакоместа, в которой применялось только два клинообразных символа: _Т для 1 и < для 10, при этом сохранялась шестидесятеричная основа. Таким образом, 75 записывалось как _Т < Т Т Т Т Т Для обозначения ноля символа не существовало. Позиционный символ не использовался до времен новой Вавилонской империи, возникшей в шестом веке до нашей эры, так что следует соблюдать осторожность, читая древние вавилонские числа, поскольку позиционное значение символов надо оценивать в зависимости от контекста. Например, без ноля нам было бы трудно различить числа 18, 108 и 180. Мы не знаем точно, почему вавилоняне предпочитали работать с такой системой, однако она оказалась очень эффективной при вычислениях и выдержала испытание временем, преимущественно за счет использования основы 60 при расчетах минут и секунд и при измерении времени и углов.

Веским доказательством существования вавилонской математики служат глиняные таблички с клинописными надписями. Они очень широко использовались, и сотни тысяч экземпляров этих табличек выжили — от крошечных фрагментов до целых блоков размером с портфель. Повсюду было много глины, и, пока она оставалась влажной, можно было стереть вычисление и начать писать заново. Как только глина затвердевала, табличка или выбрасывалась, или использовалась в качестве строительного материала. Арифметические вычисления тогда были распространены не меньше, чем теперь. Вавилоняне были плодовитыми творцами математических таблиц. Они оставили нам несколько довольно сложных образцов, касающихся исчисления обратных величин, площадей, кубов и более высоких степеней чисел — такие степени полезны при вычислении прибыли по ссудам. Использование математических таблиц теперь в значительной степени ушло в прошлое из-за широкого распространения калькуляторов, но их важность в облегчении вычислений имеет долгую историю, восходящую к глиняным табличкам вавилонян. Этот народ был очень опытен в алгебре, хотя вопросы и методы решения были риторическими — они объяснялись словами, а не символами. Вавилоняне решали квадратные уравнения приемом, который сейчас, по существу, не что иное, как «наш» метод «дополнения до полного квадрата». Их обоснование этой процедуры основывалось на том, что прямоугольную область можно перестроить таким образом, чтобы получился квадрат. Некоторые уравнения более высокого порядка решались или числовыми методами, или путем упрощения их до уже известных типов.

В геометрии они знали процедуры, позволявшие найти площади плоских фигур. Многие задачи решались алгебраически. Иррациональные числа, дающие начало бесконечному разложению на десятичные дроби, изображались в цифровой форме путем усечения дробного шестидесятеричного разложения. Например, в десятичной системе счисления в выражении √5 = 2,236067… три точки показывают, что разложение на десятичную дробь продолжается неопределенно долго. Усечение ее до двух десятичных знаков приводит к значению 2,23, хотя значение 2,24 — более точное приближение. Иногда усеченное и наиболее точное приближения дают один и тот же результат, например при усечении до трех десятичных знаков в обоих случаях √5 = 2,236. Записей о каком-либо обсуждении предполагаемой бесконечной природы таких разложений не существует, но на одной табличке изображено очень хорошее приближение √2, которое в шестидесятеричной системе изображается как 1:24,51,10 и соответствует пяти десятичным позициям. Обоснования этого результата не дается, но метод, названный в честь Гирона, греческого математика первого века нашей эры, то есть примененный почти две тысячи лет спустя, приводит к точно такому же результату. Вавилоняне также вовсю использовали теорему Пифагора за тысячу лет до его рождения.

Математика древних вавилонян была сложной и применялась в практических целях — в бухгалтерских и финансовых расчетах, в определении весов и мер. Некоторые из проблем, которыми они занимались, показывают, что существовала также теоретическая традиция, плоды которой можно увидеть в вавилонской астрономии.