История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных

К началу XVII века вырос интерес к построению различных кривых и вычислению их длин, ограничиваемых ими площадей и объемов фигур, получаемых в результате их вращения. Стимулом послужило решение различных задач механики — как статики, так и динамики. Определение центра тяжести предмета математическими методами было очень важным для решения вопроса о его устойчивости и, естественно, представляло большой интерес в таких областях, как архитектура и судостроение. Используемые методы в принципе можно было разбить на две Архимедовы категории, но все сильнее чувствовалось, что, несмотря на логическую форму задачи, методы, в той или иной форме использующие неделимые или бесконечно малые величины, легче приводили к более правильным результатам, чем геометрические методы.

Математика больше не могла избегать понятий бесконечности и бесконечно малых величин — Сциллы и Харибды греческой математики. Кеплер использовал инфинитезимальный метод при вычислении площади сектора эллиптической орбиты, по которому планета проходит за определенное время. Вот еще более впечатляющий пример. В книге под названием «Новая стереометрия винных бочек» (1615) Кеплер рассчитал объем винной бочки, используя бесконечно большое число бесконечно малых дощечек. Галилей верил в реальное существование бесконечности, приводя в пример круг, который он считал многоугольником с бесконечным числом сторон. В то же самое время итальянский математик Бонавентура Франческо Кавальери (1598–1647), ученик Галилея, а с 1629 года — профессор математики в Болонье, издал свой труд, здоровенный том почти в семьсот страниц, посвященный методам вычисления площадей и объемов. В этой работе, именуемой «Геометрия, развитая новым способом при помощи неделимых непрерывного» (1635), обсуждались различные методы вычисления неделимых бесконечно малых величин, причем площади плоских фигур считались составленными из неделимых линий, а объемные фигуры предполагались состоящими из неделимых плоских объектов. Самым главным его результатом стала формула площади фигуры, ограниченной кривыми: у = хⁿ при любом целочисленном n.

Теперь давайте хотя бы бегло рассмотрим, как развивались события, предшествовавшие рождению дифференциального и интегрального исчислений, — например, каким образом определялись тангенсы кривых. Пьер де Ферма (1601–1665) добился некоторых важных результатов, однако не стал публиковать их. Вместо этого он активно делился своими открытиями в переписке со многими математиками того времени. Эту корреспондентскую сеть организовал Маренн Мерсенн (1588–1648). Ферма разработал методы, позволяющие найти тангенс в любой точке полинома, а также методы определения максимума и минимума этой кривой. Он также вновь открыл правила Кавальери для вычисления площадей фигур, ограниченных кривыми вида у = хⁿ, расширив их множество таким образом, что теперь n могло быть как положительным, так и отрицательным. Единственным случаем, выходящим за рамки общего правила, был случай n = -1 — эта кривая, как известно, представляет собой логарифмическую функцию. Методы Ферма очень близки тем к современному дифференциальному исчислению, за исключением того, что у Ферма не использовалось понятие предельного перехода. Ни в одном из трудов ученого, посвященных анализу бесконечно малых величин, не упоминается, что задачи построения тангенсов и вычисления площадей, по существу, обратны по отношению друг к другу. При этом он не расширил диапазон используемых функций.

Изобилие до-дифференциальных и до-интегральных методов вскоре сформировалось в новую ветвь математики. Как это часто бывает в истории, революционные методы уже витали в воздухе и только и ждали человека, способного уловить их и придать им зримую форму. В данном случае честь изобретения метода отдается сразу двум ученым — Исааку Ньютону и Готфриду Лейбницу. Как в случае любого совместного изобретения, всегда есть некоторое сомнение в том, кто из них все-таки оказался первым, так что споры об этом шли по всей Европе.