История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных

Давайте внимательно присмотримся к проблеме, за которую взялся Ньютон. Если мы возьмем точку на кривой и пожелаем определить наклон касательной в этой точке, мы можем выбрать вторую точку, близкую к первой, и соединить эти две точки прямой. Мы также можем построить прямоугольный треугольник, в котором эти две точки находятся на концах гипотенузы. Отношение двух других сторон треугольника дает нам наклон линии, соединяющей точки. Если мы представим себе, что вторая точка медленно перемещается в сторону первой, мы сможем увидеть, что по мере того, как наш треугольник становится все меньше и меньше, наклонная линия становится все более похожей на касательную. Если эти две точки встретятся, мы увидим касательную, а треугольник исчезнет, и две стороны, которые давали нам числовое значение угла наклона, будут равны нулю. В таком случае мы имеем соотношение двух нулей, которое и дает нам ответ! На языке Ньютона наше конечное соотношение исчезающе малых величин — реальная величина. Таким образом, прочность метода исчисления была основана на уверенности самого Ньютона, а широкое распространение было обеспечено его широкой применимостью. Однако сомнения относительно правильности основ метода все же сохранялись, и впоследствии ученые возвратились к проблеме вычисления бесконечно больших и бесконечно малых величин. Вскоре после смерти Ньютона философ Джордж Беркли (1685–1753) в своей работе «Аналитик» яростно напал на дифференциальное и интегральное исчисления, выдвигая на первый план логические проблемы этого метода, о которых математики были отлично осведомлены. Он набросился на теорию Ньютона с яростным религиозным фанатизмом, обвинив математиков в ереси за то, что они верили в «призраки усопших величин».

Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716) родился в Лейпциге, там же он изучал богословие, право, философию и математику. Университет отказал ему в докторской степени по законоведению, потому что ученый был слишком молод — ему было всего двадцать лет, так что защищать диссертацию Лейбниц отправился в Альтдорф-Нюрнберг. После получения степени он отказался от предложения преподавать право и стал советником, историком, библиотекарем и дипломатом на службе у герцога Эрнеста-Августа Брауншвейг-Люнебургского (Ганновер). О нем нередко говорят как о последнем великом универсале, который особенно интересовался логикой и созданием основ всеобщего языка. Возможно, именно поэтому языком счисления, который используется сегодня, мы в значительной степени обязаны Лейбницу. Ему принадлежат термины «дифференциальное исчисление» и «интегральное исчисление», равно как запись dy/dx и dx. Дипломатическая должность давала Лейбницу возможность путешествовать. В 1613 году он посетил Лондон, где стал членом Королевского общества. А в 1676 году ученый вернулся туда, чтобы продемонстрировать новую механическую вычислительную машину. Во время этого визита он не был знаком с Ньютоном, но позднее историки науки много спорили о том, мог ли тогда Лейбниц прочитать «Анализ…». Эти два математика много переписывались, обмениваясь мнениями относительно бесконечного ряда.