История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных

Исаак Ньютон родился на Рождество 1642 года — в год смерти Галилея. В 1661 году он поступил в Тринити-колледж в Кембридже, а в 1664-м — получил диплом о высшем образовании. В течение последующих двух лет колледж был закрыт из-за чумы, и Ньютон возвратился домой в Линкольншир. Позднее он писал, что именно тогда совершил известные прорывы в науке — открыл уравнение с бесконечным рядом членов, закон всемирного тяготения, а также дифференциальное и интегральное исчисления. Это могло бы показаться чрезмерным упрощением, но в 1669 году он написал работу «Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов», в которой он рассматривал бесконечный полином так же, как конечный, и позднее распространил бином Ньютона на любую рациональную степень. «Анализ…» также содержал первое описание дифференциального и интегрального исчислений, основанных на методе, похожем на метод Ферма, однако в нем использовались большие степени вследствие работы с бесконечными рядами. Именно в этом труде вычисление площади фигуры, ограниченной кривой, впервые было представлено как задача, обратная нахождению тангенса. В 1671 году Ньютон написал другой труд о том, что он назвал флюентами и флюксиями — переменными, или текущими, величинами (флюент — от лат. fluo, «теку»), и скоростями их изменения. В этой работе он изображал величины х и у как функции времени, а х´ и у´ — как скорости их изменения. Величины, насколько изменяются сами х и у — собственно производные, — были обозначены х´ и у´. Ньютон пришел к этой идее, рассматривая линию как местоположение точки, перемещающейся в пространстве. Время служит в этой системе невидимым хронометром и не появляется в качестве отдельной переменной t. К сожалению, Ньютон держал все рассуждения при себе, показывая коллегам лишь некоторые из своих работ. «Анализ…» не издавалась вплоть до 1711 года, а описание метода вычисления производных появилось на английском языке лишь в 1736 году. Впервые ученый кратко опубликовал свои выводы — в виде нескольких, крайне трудных для понимания пассажей — в «Началах», изданных в 1687 году. В самих «Началах» дифференциальное и интегральное исчисления практически не фигурируют. Ньютон описывал все свои построения в области математической физики, пользуясь терминами геометрии. Его упорный отказ издавать свои работы можно объяснить отвращением к публичным спорам и дрязгам, которые могли за ними последовать. Он уже конфликтовал с Робертом Гуком по вопросам оптики (Ньютон дождался смерти коллеги и лишь затем опубликовал свою «Оптику»). Даже «Начала» никогда не появились бы на свет, если бы не настоятельные требования и финансовая поддержка Эдмунда Галлея. Ньютон хотел лишь одного — чтобы его оставили в покое и не мешали работать. В итоге это привело к самому решительному сражению в его жизни.

В «Началах» есть раздел (это Отдел I Книги I), носящий название «О методе первых и последних отношений, при помощи которого последующее доказывается». В нем Ньютон дает геометрическую трактовку ключевых идей, касающихся дифференциального и интегрального исчислений. В другом разделе перечисляются некоторые результаты того, что Ньютон назвал «моментом любого происхождения», — теперь мы назвали бы это термином «дифференциал». Это первое публичное упоминание о новом виде исчисления, и неудивительно, что, кроме нескольких математиков, научный мир поначалу не пришел в восторг. Ньютон шел от геометрических доказательств к обобщенным результатам, не приводя алгебраические манипуляции. В тексте он признал, что в таком виде метод легче представлять, но он все еще беспокоится, что доказательство его теории бесконечно малых величин достаточно шатко. Ньютон — не первый ученый, взявшийся за дифференцирование и интегрирование, но именно он впервые создал прочную конструкцию, в которой эти две операции были обратны друг другу. Своими бесконечными рядами он чрезвычайно расширил диапазон функций, с которыми теперь можно было работать.

А что такое эти флюксии? Скорости исчезающих приращений. А что такое эти самые исчезающие приращения? Они не есть ни конечные величины, ни величины бесконечно малые, но они и не нули. Разве мы не имеем права назвать их призраками исчезнувших величин?

Джордж Беркли. Аналитик (1734) [17]