Избранные научные труды

Теория колебаний цилиндрической струи жидкости около её равновесной формы развита Рэлеем для случая, когда амплитуда колебаний бесконечно мала и жидкость не обладает вязкостью.

Уравнения, полученные Рэлеем, могут рассматриваться как хорошее приближение в случае, когда амплитуда и коэффициент вязкости малы; однако, если эти уравнения используются для точного определения коэффициента поверхностного натяжения, существенно знать степень точности этого приближения в реальных условиях. Поэтому в первой части настоящего исследования мы попытаемся уточнить теорию путём внесения поправок, учитывающих конечность амплитуды и вязкость.

РАСЧЁТ ВЛИЯНИЯ ВЯЗКОСТИ

Под влиянием вязкости колебания струи будут затухать. Если задача заключается в отыскании закона убывания амплитуды, то при малом коэффициенте вязкости это можно приближённо сделать с помощью простого учёта рассеянной энергии. Некоторые авторы ⁵ считают, что связанные с учётом вязкости поправки к длине волны (или периоду колебаний) в подобном случае могут быть найдены прямо из логарифмического декремента затухания амплитуды волны с помощью формулы T₁=T(1+^2/4^2) ^1/2 , где T₁ — период затухающих колебаний, а T — период незатухающих колебаний. Однако использование такой формулы мне представляется неправильным. Дело в том, что эта формула получена для случая, когда единственное различие уравнений движения для консервативной системы (a^2q/t^2+cq=0) и для неконсервативной системы (a^2q/t^2+bq/t+cq=0) связано с введением диссипативного члена; это справедливо для малых свободных колебаний тела с одной степенью свободы.

⁵ См.: P. O. Pedersen. Phil. Trans. Roy. Soc., 1907, A207, стр. 346, а также:

Ph. Lenard. Wied. Ann., 1887, XXX, стр. 239, где рассматривается измерение коэффициента поверхностного натяжения воды по методике колебаний капель.

В нашей же задаче коэффициент инерции a не будет одинаковым для двух систем, так как в неконсервативной системе a зависит от коэффициента вязкости (то же самое имеет место и во всех аналогичных проблемах гидродинамики, когда потенциал скорости существует для консервативной, но не существует для неконсервативной системы).

Из последующего будет видно, что в действительности поправки к длине волны пропорциональны не ², а ^3/2.

Чтобы найти изменение длины волны вследствие вязкости, следует рассмотреть вопрос более детально. Подобное исследование было проведено Рэлеем ¹ для случая колебаний цилиндра вязкой жидкости под действием капиллярных сил при сохранении симметрии относительно оси цилиндра. Однако последнее условие (симметрия) в указанной работе с самого начала используется в такой форме, что проведенные расчёты нельзя применять к случаю колебаний более общего вида, о которых речь пойдёт ниже. Результаты нашего рассмотрения не охватывают частный случай, исследованный Рэлеем, поскольку для упрощения расчётов не принимались специальные меры предосторожности, обеспечивающие возможность перехода к пределу n=0.

¹ Rayleigh. Phil. Mag., 1892, XXXIV, 145.

Общие уравнения движения несжимаемой вязкой жидкости, свободной от действия внешних сил, имеют вид

^2u-

Du

Dt

=

p

x

,

^2v-

Dv

Dt

=

p

y

,

^2w-

Dw

Dt

=

p

z

,

(1)

u

x

+

v

y

+

w

z

=

0,

(2)

где u, v, w — компоненты скорости, p — давление, — плотность, — коэффициент вязкости и

^2

=

^2

x^2

+

^2

y^2

+

^2

z^2

,

D

Dt

=

t

+u

x

+v

y

+w

z

.

В рассматриваемой задаче движение является стационарным. Положим w=c+. Считая, что u, v и w имеют вид f(x,y)•e^ibz и достаточно малы, чтобы при расчётах можно было пренебречь их произведениями (и величинами того же порядка), из уравнений (1) получаем

^2-ib

c

u

=

1

p

x

,

^2-ib

c

v

=

1

p

y

,

^2-ib

c

=

1

p

z

.

(3)

Из уравнений (3) и (2) следует

^2p=0.

(4)

Полагая

u

=

i

cb

p

x

+

u

₁

,

v

=

i

cb

p

y

+

v

₁

,

=

i

cb

p

z

+

₁

,

(5)

получаем

^2-ib

c

u

₁

=0

,

^2-ib

c

v

₁

=0

,

^2-ib

c

₁

=0

,

(6)

и

u₁

x

+

v₁

y

+

₁

z

=0

.

(7)

Введём полярные координаты r и (x=r cos , y=r sin ), а также радиальную и тангенциальную составляющие скорости и . С помощью соотношений

t

=

cos - sin ,

u

=

sin + cos ,

t

₁

=

₁

cos -

₁

sin ,

u

₁

=

₁

sin +

₁

cos ,

x

=

cos

r

-

sin

1

r

,

y

=

sin

r

+

cos

1

r

,

(8)

из равенств (5) получаем

=

i

cb

p

r

+

₁

,

=

i

cb

1

r

p

+

₁

;

(9)

из уравнений (6) и (7), имея в виду, что ^2=^2/r^2 + (1/r)/r + (1/r^2)^2/^2 + ^2/z^2 находим

^2-ib

c

₁

-

₁

r^2

-

2

r^2

₁

=0,

^2-ib

c

₁

-

₁

r^2

-

2

r^2

₁

=0

(10)

и

₁

r

+

₁

r

+

1

r

₁

+

₁

z

=0.

(11)

Полагая, что p, , , и соответственно ₁, ₁, ₁ имеют вид f(r)e^in+ibz, из уравнения (4) получаем

^2p

=

^2p

r^2

+

1

r

p

r

-

p

n^2

r^2

+b^2

=0.

Решение этого уравнения, удовлетворяющее условию ограниченности при r=0, имеет вид

p=

AJ

_n

(ibr)e

^in+ibz

,

(12)

где J_n функция Бесселя n-го порядка. Из уравнений (6) имеем

^2-ib

c

₁

=

^2₂

r^2

+

1

r

₁

r

-

₁

m^2

r^2

+

d^2

=0,

d^2

=

a^2

+

ib

c

,

(13)

откуда

₁

=

BJ

_n

(idr)e

^in+ibz

.

(14)

Исключая ₁ из уравнений (10) и (11), имеем

r

^2-ib

c

₁

+2

₁

r

+

₁

r

=-2

₁

z

,

откуда

^2-ib

c

(r

₁

)

=-2

ib

J

_n

(idr)e

^in+ibz

(15)

Поскольку, однако,

^2-ib

c

r

r

=

r

r

^2-ib

c

+2

^2

r^2

+

2

r

r

+

2

r^2

^2

^2

=

=

r

r

+2

^2-ib

c

-2

^2

z^2

-ib

c

,

это даёт

^2-ib

c

r

r

J

_n

(idr)e

^in+ibz

=

=2

b^2-ib

c

J

_n

(idr)e

^in+ibz

=

2b^2

J

_n

(idr)e

^in+ibz

,

(16)

и из соотношений (15) и (16) следует, что

₁

=

b

d

BJ

'

n

(idr)

+

C

1

r

J

_n

(idr)

e

^in+ibz

,

(17)

а из (11) получаем

-

1

₁

r

=

₁

r

+

₁

r

+

₁

z

=

=

B

ib

J

''

n

(idr)

+

b