Избранные научные труды

1

d

r

J

'

n

(idr)

+

ib

J

n

(idr)

+

C

ib

1

r

J

'

n

(idr)

e

^in+ibz

.

(18)

С помощью соотношения

J

''

n

(x)

+

1

x

J

'

n

(x)

+

1-

n^2

x^2

J

n

(x)

=0

(19)

из уравнения (18) имеем

₁

=

B

nb

1

d

r

J

n

(idr)

-C

d

n

J

'

n

(idr)

e

^in+ibz

.

(20)

Подставляя в равенства (9) и (5) выражения для p, ₁, ₁ и ₁, задаваемые формулами (12), (14), (17) и (20), получаем

=

-A

1

c

J

'

n

(ibr)

+B

b

d

J

'

n

(idr)

+C

1

r

J

n

(idr)

e

^in+ibz

,

=

-A

n

1

bc

r

J

n

(ibr)

+B

bn

1

d^2

r

J

n

(idr)

+C

d

n

J

'

n

(idr)

e

^in+ibz

,

w=c+=c+

-A

1

e

J

n

(ibr)

+B

J

n

(idr)

e

^in+ibz

.

(21)

Предположим, что уравнение поверхности имеет вид

r-a==D

e

^in+ibz

.

Из общего граничного условия на поверхности имеем

D

Dt

(r-a-)

=

r

+

r

+w

z

(r-a-)

=0,

откуда, пренебрегая величинами того же порядка малости, что и раньше, находим

a-c

z

=0,

=-

i

cb

.

(22)

Обозначая главные радиусы кривизны через R₁ и R₂, получаем, далее, аналогичным образом

1

R₁

+

1

R₂

=

1

a

-

a^2

-

1

^2

a^2

^2

-

^2

z

=

1

a

-

i(n^2-1+b^2a^2)

a^2cb

.

(23)

Пусть P_r, P и P_z — соответственно радиальная, тангенциальная и аксиальная составляющие действующей в вязкой жидкости силы сцепления, отнесённой к единице площади элемента поверхности, расположенного перпендикулярно радиус-вектору. Принимая рассматриваемый радиус-вектор за ось X и используя общепринятые обозначения, имеем

P

_r

=

p

_x,x

=

-p

+2

u

x

,

P

=

p

_x,y

=

v

x

+

u

y

,

P

_z

=

p

_x,z

=

w

x

+

u

z

.

Используя соотношения (8), дифференцируя и полагая =0, получаем

P

_r

=

-p

+2

r

,

P

=

r

+

1

r

-

r

,

P

_z

=

z

+

w

r

.

(24)

Введём коэффициент поверхностного натяжения T; предполагая отсутствие «поверхностной вязкости», динамические условия на поверхности с прежней степенью точности можно записать в виде

T

1

R₁

+

1

R₂

+

P

_r

=const,

P

=0,

P

_z

=0;

(25)

отсюда, принимая во внимание равенства (23) и (24), получаем

-T

i(m^2-1+a^2b^2)

a^2cb

-p+2

r

r=a

=0,

(26)

1

r

+

r

-

r

r=a

=0,

z

+

w

r

r=a

=0.

(27)

Подставляя в эти условия значения p, , и w, задаваемые формулами (12) и (21), и исключая B/A и C/A, получаем уравнения для определения b. Поскольку вычисления оказываются довольно длинными и приводят к очень громоздкому результату, мы не будем воспроизводить указанную процедуру точно, а ограничимся приближением, достаточным для наших целей.

В экспериментах численное значение величины | iab | оказывается малым, так как длина волны обычно велика по сравнению с диаметром струи: значение же величины | iad |, напротив, велико, так как мал коэффициент вязкости. (Во всех экспериментах | iab | < 0,24 и | iad | > 20.)

При всех значениях x справедливо разложение

J

n

(x)

=

xⁿ

2ⁿ·n!

-

xⁿ⁺²

2ⁿ⁺²·1!(n+1)!

+

xⁿ⁺⁴

2ⁿ⁺⁴·2!(n+2)!

-…

(28)

Ряд (28) быстро сходится при малых x, но очень медленно — при больших x. Из разложения (28) следует

J

'

n

(x)

=

n

x

J

n

(x)

1-

x²

2n(n+1)

-

x⁴

2³·n(n+1)²(n+2)

-…

и далее с помощью (19)

J

''

n

(x)

=

n(n-1)

x^2

J

n

(x)

1-

x^2(2n+1)

2(n-1)n(n+1)

+

x⁴

2³(n-1)n(n+1)²(n+2)

…

.

Поэтому, вычисляя диссипативные члены в уравнении для определения b, мы будем полагать

J

'

n

(iab)

=-

in

ab

J

n

(iab)

1+

a^2b^2

2n(n+1)

и

J

''

n

(iab)

=-

n(n-1)

a^2b^2

J

n

(iab)

1+

a^2b^2(2n+1)

2(n-1)n(n+1)

.

(29)

Для вычисления J_n(x) при больших значениях x мы воспользуемся асимптотическим выражением

J

_n

(x)

~

(2x)

^{- 1/2}

[

P

_n

(x)

+

iQ

_n

(x)

]

exp i

x-

2n+1

4

[

P

_n

(x)

-

iQ

_n

(x)

]

exp -i

x-

2n+1

4

(30)

где

P

_n

(x)

=

1-

(4n^2-1^2)(4n^2-3^2)

2!(8x)^2

+

(4n^2-1^2)(4n^2-3^2)(4n^2-5^2)(4n^2-7^2)

4!(8x)⁴

-…

и

Q

_n

(x)

=

4n^2-1^2

1!8x

-

(4n^2-1^2)(4n^2-3^2)(4n^2-5^2)

3!(8x)³

+…

Если в формуле (30), справедливой при положительной вещественной части x, взять несколько членов, то она будет давать очень хорошее приближение для J_n(x) при больших x. При использовании формулы (30) x можно записать в виде a-ib, где a и b — большие положительные числа. При этом член с e^ix будет преобладающим; пренебрегая членом с e^-ix, имеем

J

'

n

(x)

=

iJ

n

(x)

1+

i

2x

-

4n^2-1

8x^2

+

i(4n^2-1)

8x^3

-…

и, согласно (19),

J

''

n

(x)

=

-J

n

(x)

1+

i

x

-

2n^2-1

2x^2

-

i(4n^2-1)

8x^3

-…

.

Исходя из сказанного, мы в дальнейших расчётах положим

J

'

n

(iad)

=

iJ

n

(iad)

1+

1

2ad

+

4n^2-1

8a^2d

и

J

''

n

(iad)

=

J

n

(iad)

1+

1

ad

+

2n^2+1

2a^2d^2

(31)

Теперь из соотношений (27) с помощью (29) и (31) мы получаем

A

1

c

J

n

(iab)

2n(n-1)

a^2b

1+

a^2b^2

2(n-1)(n+1)

+

+

BJ

n

(iad)

2nb

ad

1+

3

2ad

+

4n^2-1

8a^2d^2

-

-

C

n

J

n

(iad)

id^2

n

1+

2

ad

+

2n^2+1

a^2d^2

=0

(32)

и

A

1

c

J

n

(iab)

2n

a

1+

a^2b^2

2n(n+1)

+

+

BJ

n

(iad)

d

1+

1

2ad

+

4n^2-1

8a^2d^2

-

CJ

n

(iad)

ib

a

=0.

(33)

Из соотношений (32) и (33) находим

BJ

n

(iad)

A

1

c

J

n

(iab)

2n

ad

1+

a^2b^2

2n(n+1)

1-

1

2ad

-

12n^2-8n-3

8a^2d^2

и

CJ

n

(iad)

A

1

c

J

n

(iab)

i2n^2(n-1)

a^2d^2b

1+

a^2b^2

2(n^2-1)

1-

2

ad

-

2n^2-3

a^2d^2

.

(34)

Формула (26) с учётом равенств (12), (21), (29), (31), (34) и (13) теперь даёт

b^2-ib

·

4n(n-1)

a^2c

1+

a^2b^2

n(n-1)

1+

n-1

ad

+

(n-1)(2n-3)

2a^2d^2

-

-T

iba J

'

_n

(iab)

pc^2a^3 J

_n (iab)

(n^2-1+a^2b^2)=0.

(35)

Полагая в формуле (35) =0, получаем решение Рэлея

b

2

0

=

iba J

'

_n

(iab

₀

)

pc^2a^3 J

_n (iab₀)

(n^2-1+a^2b

2

0

)=

=

b(n^3-n)

pc^2a^3

1+

(3n-1)a

²

b

₂

⁰

2n(n

₂

  -1)

+

3(n+3)a

⁴

b

₄

⁰

8n(n-1)(n+1)

₂

  (n+2)

+…

.

(36)

Положительный корень этого уравнения мы в дальнейшем будем обозначать через k₀.

Из соотношений (35) и (36) в используемом приближении получаем

b^2-ib

·

4n(n-1)

a^2c

1+

(5n+1)a^2k

₂

⁰

2n(n

₂

  -1)

1+

n-1

ad

+

(n-1)(2n-3)

2a^2d^2

-

-k

₂

⁰

=0.

(37)

В пределах точности того же приближения можно подставить в (37), имея в виду (13),

iad

=

ia

ik

 

₀

c

1/2

=

(1-i)

a^2k₀c

1/2

,