Избранные научные труды

Формула (80) представляет собой уравнение волнового профиля, получаемого при пересечении поверхности струи одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей симметрии. Максимальное и минимальное значения r получаются из (80) соответственно при z=2n/k и z=(2n+1)/k Имеем

1

2

r

_макс

+r

_мин

=

a

1+

1

6

b^2

a^2

;

1

2

r

_макс

-r

_мин

=

b.

(81)

Эти формулы будут использоваться при измерениях струй.

УЧЁТ ВЛИЯНИЯ ОКРУЖАЮЩЕГО ВОЗДУХА

До сих пор мы пренебрегали плотностью воздуха ¹. Однако малая поправка к длине волны из-за инерции воздуха легко может быть получена с достаточной точностью из следующего расчёта, в котором рассматриваются бесконечно малые двумерные колебания цилиндрической поверхности, разделяющей две жидкости с различной плотностью.

¹ Рэлей (Rayleigh. Phil. Mag., 1892, XXXIV, 145) изучал соответствующую проблему в случае, когда при колебаниях сохраняется симметрия относительно оси жидкого цилиндра.

Считая жидкости невязкими, предположим существование потенциала скорости . Полагая

=

f(r)

e

^in+iqt

получим уравнение

^2f

r^2

+

1

r

f

r

-

n^2

r^2

f

=0,

из которого следует

f(r)

=

Ar

ⁿ

-

Br

^-n

.

Так как скорость должна быть конечной, как внутри, так и вне цилиндра, потенциал должен иметь вид

₁

=Ar

ⁿ

e

^in+iqt

внутри цилиндра и

₂

=Br

^-n

e

^in+iqt

вне цилиндра.

Пусть поверхность струи описывается уравнением

r-a

==

C

e

^in+iqt

При r=a должны удовлетворяться условия

t

=-

₁

r

=-

₂

r

(82)

и

p

₁

-p

₂

=

T

1

R

.

(83)

Из равенств (82) получаем

B=-Aa

²ⁿ

;

C=-iA

n

q

a

^n-1

,

а из равенства (83)

₁

₁

t

-

₂

₂

t

+

F(t)

=

T

1

a

-

a^2

-

1

a^2

^2

^2

.

(84)

Подставляя в (84) значения ₁, ₂ и , имеем

q^2

=

T

₁+₂

n^3-n

a^3

.

Итак, мы рассмотрели влияние на изучаемое явление таких факторов, как вязкость жидкости, величина амплитуды волны и инерция воздуха ¹. Складывая полученные результаты, получаем следующую формулу для определения коэффициента поверхностного натяжения (мы полагаем n=2, как это имеет место в экспериментах):

T

=

(

₁

+

₂

)

k^2a^3c^2

J

 

²

(iak)

(3+a^2k^2) iak J

_'

² (iak)

1+2

2

ca^2k

3/2

+

+3

2

ca^2k

2

1+

37

24

b^2

a^2

.

(85)

¹ Все эти поправки следует считать аддитивными, так как можно показать, что и в случае наличия вязкости длина волны должна быть чётной функцией b/a.

Прежде чем переходить к экспериментальной части исследования, мы рассмотрим ещё один вопрос, который может представить определённый интерес при дальнейшем обсуждении.

Этот вопрос состоит в том, что в экспериментально создаваемых струях скорость в середине струи следует считать большей, чем вблизи поверхности. Приведённый ниже способ позволяет оценить меру затухания этой разницы скоростей, происходящего вследствие вязкости жидкости. Рассмотрим жидкий круговой цилиндр, каждая часть которого движется параллельно его оси, причём скорости в разных частях зависят лишь от расстояния до оси цилиндра и от времени.

Принимая ось цилиндра за ось z, имеем в применявшихся ранее обозначениях

=0, =0, w=f(r,t).

Из первых двух равенств следует p/r=0; так как, далее, p=const при r=a имеем p=const.

Положим w=(r)e^-t; тогда уравнение движения

^2w

-

Dw

Dt

=

p

z

переходит в

^2

r^2

+

1

r

r

+

=0.

Решением последнего уравнения, удовлетворяющим условию ограниченности при r=0, является

=CJ

₀

(kr),

 причём

k^2=

.

Динамическое условие на поверхности, (d/r)_r=a=0, требует, чтобы k было корнем уравнения

J

_'

⁰

(ka)

=0.

(Первыми четырьмя корнями этого уравнения являются k₀a=0, k₁a=·1,2197, k₂a=·2,2330, k₃a=·3,2383.) Следовательно, общее выражение для w имеет вид

w=

c

_n

J

₀

(k

_n

r)

e

^-/

k

²

_n

t

.

Мы видим, что в этом выражении член с J₀(k₁r) убывает значительно медленнее всех остальных членов с более высокими индексами корней. Более того, для рассматриваемых струй упомянутый первый член будет преобладающим уже у самого отверстия, так как w/r должно сохранять знак в промежутке изменения r от 0 до a. Поэтому скорость некоторого элемента струи с высокой точностью может быть записана в виде

w=c

₁

+

d

₁

J

₀

(k

₁

r)

e

^-t

,

=

·1,2197

a

^2

,

где t — время движения элемента, отсчитываемое с момента его выхода из отверстия.

ПОЛУЧЕНИЕ СТРУИ

При постановке эксперимента наиболее важной проблемой является получение струи, которая удовлетворяла бы предположениям, сделанным выше при теоретическом анализе, и в то же время совершала бы колебания только одного определённого типа.