Избранные научные труды

где выбор знака определяется тем, чтобы вещественная часть iad была положительной [см. соотношение (30)]. При этом равенство (37) принимает вид

b^2-ib

·

4n(n-1)

a^2c

1+

(5n+1)a^2k

₂

⁰

2n(n

₂

  -1)

1-(1-i)

n-1

2

2

ca^2k₀

1/2

-

-i

(n-1)(2n-3)

4

2

ca^2k₀

-k

₂

⁰

=0.

(38)

Решая равенство (38) относительно b, получаем, полагая b=k+i,

k=k

₀

1-

n(n-1)^2

2

2

ca^2k₀

³/₂

-

3n(n-1)^2

4

2

ca^2k₀

^2

(39)

и

=

·

2n(n-1)

a^2c

1+

(5n+1)a^2k

₂

⁰

2n(n

₂

  -1)

1-

n-1

2

2

ca^2k²₀

1/2

.

(40)

Все использовавшиеся уравнения были линейными, так что физический смысл проделанного расчёта состоит в доказательстве существования движения потока жидкости с поверхностью, описываемой уравнением

r=a+be

^-z

cos kz sin n,

где k и определяются формулами (39) и (40).

Поправка на вязкость, которую следует ввести в силу поверхностного натяжения, может быть получена из формул (36) и (39); имеем

T

=

k^2

c^2a^3 J

 

ⁿ (iak)

iak J

_'

ⁿ (iak) (n^2-1+a^2k^2)

1+n(n-1)^2

2

ca^2k

³/₂

+

+

3n(n-1)^2

2

2

ca^2k

^2

.

(41)

УЧЁТ ВЛИЯНИЯ КОНЕЧНОСТИ АМПЛИТУДЫ

Теперь мы вычислим поправку к длине волны, связанную с конечной величиной амплитуды волны. Мы используем приближённый метод, который в принципе был указан Стоксом ¹.

¹ G. G. Stokes. Camb. Trans., 1847, VIII, 441.

Последующий расчёт будет относиться к двумерным колебаниям цилиндрического потока жидкости без вязкости. Для трёхмерного случая задача может быть решена аналогичным способом, но расчёты при этом становятся весьма трудоёмкими и вряд ли имеют практическое значение с точки зрения целей настоящего исследования. Если ограничиться рассмотрением струй, диаметр которых мал по сравнению с длиной волны, то движение будет очень незначительно отличаться от двумерного, так что малая поправка к длине волны вследствие конечной величины амплитуды может считаться одинаковой в обоих случаях.

При решении задачи будет предполагаться существование потенциала скорости . Используя полярные координаты и обозначая через и соответственно радиальную и тангенциальную составляющие скорости, имеем

= -

r

,

= -

1

r

.

Считая жидкость несжимаемой, получаем

r

+

r

+

1

r

= -

^2

r^2

+

1

r

r

+

1

r^2

^2

^2

=0.

(42)

Решение уравнения (42), удовлетворяющее условию конечности скорости при r=0, может быть записано в виде

=

A

_n,q

r

ⁿ

cos(n+

_n

)

sin(qt+

_q

),

(43)

где n — положительные целые числа.

Уравнение поверхности жидкости запишем в виде

r=a+, =(,t).

Условия на поверхности в указанных обозначениях имеют вид

D

Dt

(a--r)

=

t

+

r

+

r

(a--r)

 и

p-

T

R

=0,

(44)

где R — радиус кривизны поверхности.

Из равенства (44) находим

t

-

1

r^2

+

r

r=a+

=0

(45)

и

t

-

1

2

r

^2

+

1

r^2

^2

r=a+

-T

(a+)^2+2

^2

-

-

(a+)

^2

^2

(a+)^2

+

^2

-³/₂

+

F(t)

=0.

(46)

Рассматривая малые колебания поверхности около положения равновесия r=a, будем считать малой величиной первого порядка. Из соотношений (43), (45) и (46) видно, что при этом должно быть величиной также первого порядка малости, если F(t) определено таким образом, что не содержит членов, не зависящих от r или .

Из соотношений (45) и (46) получаем с помощью теоремы Тэйлора

t

+

1+

r

+

^2

2

^2

r^2

+…

r

-

1

r^2

r=a

=0

(47)

и

1+

r

+

^2

2

^2

r^2

+…

t

-

1

2

r

^2

-

1

2r^2

^2

r=a

-

-T

(a+)^2+2

^2

-

(a+)

^2

^2

(a+)^2

+

^2

-³/₂

+

F(t)

=0.

(48)

Из уравнений (43), (47) и (48) может быть найдено с точностью до константы, которую можно определить из условия

2

0

a+

0

rdrd

=

2

0

1

2

(a+)^2d

=

a^2.

(49)

ПЕРВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ

Найдём решение задачи, пренебрегая всеми членами выше первого порядка малости. Из соотношений (47) и (48) имеем

t

+

r

r=a

=0

(50)

и

t

r=a

-T

1

a

+

a^2

-

1

a^2

^2

^2

+

F(t)

=0.

(51)

Исключая из равенств (50) и (51), получаем

^2

t^2

-

T

a^2

r

+

^2

r^2

r=a

+

F'(t)

=0.

(52)

Если F'(t)=0, то уравнению (52) удовлетворяет функция

=Ar

ⁿ

cos n sin qt,

 где

q^2

=

T

a^3

(n^3-n)

(53)

Подставляя это выражение в равенство (50), находим

t

=-

na

^n-1

A cos n sin qt,

=

n

q

a

^n-1

A cos n cos qt+f

.

(54)

Уравнение (51) при подстановке выражений из (53) и (54) даёт соотношение

f

+

f''

=const,

которому удовлетворяет функция

f=C.

При этом из (49) следует, что

C=0.

В первом приближении уравнение колебаний имеет следующий общий вид:

r=a+

b

_n

cos(n+

_n

)

cos(q

_n

t+

_n

),

где

q

2

n

=

T

a^3

(n^3-n).

Что касается более высоких приближений, то общее уравнение колебаний нельзя записать в каком-либо аналогичном виде, так как колебания различных типов являются независимыми лишь в первом приближении.

Теперь займёмся вычислением высших приближений для колебаний чисто периодического типа, для которых первое приближение имеет вид

=Ar

ⁿ

cos n sin qt,

=

n

q

a

^n-1

A cos n cos qt+f

,

q^2

=

T

a^3

(n^3-n)

.

(55)

ВТОРОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ

Из (47) в (48) имеем

t

+

r

+

^2

r^2

-

1

r^2

r=a

=0

(56)

и

t

+

^2

rt

-

1

2

r

^2

-

1

2

^2

r=a

-

-T

1

a

-

a^2

-

1

a^2

^2

^2

+

^2

a^3

+

1

2a^3

^2

+

2

a^3

^2

^2

+

F(t)=0

.

(57)

Подставляя значения (55) для , и q, получаем во втором приближении

t

+

r

r=a

=-

n^2(2n-1)

4q

a

^2n-3

A^2cos 2n sin 2qt

+

+

n^2

4q

a

^2n-3

A^2sin 2qt

(58)

и

t

r=a

-T

1

a

-

a^2

-

1

a^2

^2

^2

+

F(t)=

=-

n(2n-1)(n^2+2n-2)

8(n^2-1)

a

^2n-2

A^2(cos 2n sin 2qt + cos 2n)

-

-

n(4n^3+3n^2-4n-2)

8(n^2-1)

a

^2n-2

A^2 cos 2n

-

n(3n^2-2)

8(n^2-1)

a

^2n-2

A^2

.

(59)

Исключая из равенств (58) и (59), находим

^2

t^2

-

T

a^2

r

+

^3

r^2

r=a

+

F'(t)

=

=-

3qn(n-1)(2n+1)

4(n+1)

a

^2n-2

A^2 cos 2n sin 2qt

+

+

4

qn(4n+3)

a

^2n-2

A^2 sin 2qt

.

(60)

Полагая

F'(t)

=

4

qn(4n+3)

a

^2n-2

A^2 sin 2qt

,