Избранные научные труды

Рассмотрим теперь силы, действующие на электроны со стороны атомов. Предположим пока, что собственные частоты электронов так малы, что для столкновений, при которых расстояние p по порядку величины равно , время столкновения очень мало по сравнению с периодом колебаний. Как мы увидим далее, для лёгких элементов это соотношение может выполняться. В этом случае мы должны учитывать действие рассматриваемых сил лишь при таких столкновениях, когда p велико по сравнению с . Это существенно упрощает расчёты, так как мы можем принять, что смещение при столкновении пренебрежимо мало по сравнению с p. В дальнейшем мы будем рассматривать отдельно движение электронов в направлениях, параллельном и перпендикулярном направлению движения частицы. Полная энергия, переданная электрону при столкновении, будет при этом равна сумме энергий, соответствующих этим двум движениям.

Рис. 1

На рис. 1 линия АВ изображает траекторию частицы, которая при рассматриваемых здесь столкновениях (т. е. при p, много большем ) очень близка к прямой линии, A — положение частицы в момент времени t, C — среднее положение электрона; BC перпендикулярно AB. В соответствии с введёнными обозначениями BC=p. Полагая, что частица находилась в точке B в момент t=0, имеем AB=Vt.

Для составляющей силы, действующей на электрон в направлении CB имеем

F

₁

=

eE

BC

AC^3

=

eEp

(V^2t^2+p^2)^3/2

=

m(t).

Уравнение движения электрона в направлении, перпендикулярном направлению движения частицы, имеет вид

d^2x

dt^2

+

n^2x

=

(t),

где n — частота, возбуждаемая рассматриваемой силой.

Решение этого уравнения, удовлетворяющее следующим условиям:

x=0 и

dx

dt

=0 при t=-,

представляется в виде¹

x=

1

n

_t

⁰

sin n(t-z)

(z)

dz

,

dx

dt

=

_t

⁰

cos n(t-z)

(z)

dz

.

¹ См.: Rayleigh. «Theory of Sound», I, 75. Для последующего анализа см. также J. Н. Jeans. «Kinetic Theory of Gases», 198.

Здесь предполагается, что электрон до соударения с частицей покоился. Если же предположить, что электроны в атоме до столкновения находились в движении, это приведёт к возникновению в формулах для x и dx/dt дополнительных членов, которые, однако, не войдут в выражение для среднего значения передаваемой энергии. (Заметим, что для справедливости приведённых расчётов необходимо, чтобы размеры орбит электронов были малы по сравнению с p; относительно выполнимости этого условия см. ниже, стр. 73.)

Для суммы кинетической энергии электрона в момент времени t и его потенциальной, энергии, связанной с его смещением относительно этого положения, мы имеем теперь

m

2

dx

dt

^2

+

mn^2

2

x^2

=

m

2

_t

⁰

cos nz·(z)dz

^2

+

m

2

_t

⁰

sin nz·(z)dz

^2

.

Для передаваемой электрону при соударении энергии, связанной с его движением, перпендикулярным направлению движения частицы, получаем, замечая, что в этом случае (z) — чётная функция аргумента,

Q

₁

=

m

2

^-

cos nz·(z)dz

^2

.

Подставляя сюда выражение для (z), имеем

Q

₁

=

e^2

2m

E^2p^2

^-

cos nz·dz

(V^2z^2+p^2)^3/2

^2

,

или

Q

₁

=

2e^2E^2

mV^2p^2

f^2

np

V

,

где функция

f(x)

=

1

2

^-

cos xz

(z^2+1)^3/2

dz

может быть представлена при всех значениях x в виде сходящегося ряда

f(x)

=

1-

1

1!2!

3

1·2

x

2

4

-

1

2!3!

3

1·2

+

5

2·3

x

2

6

…-

-

1

(n-1)!n!

3

1·2

+

5

2·3

+…

2n-1

(n-1)·n

x

2

2n

…+

+

2ln +2ln

x

2

-1

x

2

2

+

1

1!2!

x

2

4

+

+

1

1!3!

x

2

6

+…+

1

(n-1)!n!

x

2

2n

+…

(= 0,5772 ... — постоянная Эйлера). Когда x велико, f(x) представляется асимптотическим рядом

f(x)

~

2

1/2

e

^-x

x

^1/2

1+

1·3

8x

-

1·3·5

2!

1

8x

^2

+

+

1·3·1·3·5

3!

1

8x

^3

-…+

(-1)

ⁿ⁺¹

1·3·5…(2n-3)·1·3…(2n-1)

n!(8x)ⁿ

.

Для составляющей силы, действующей на электрон в направлении, параллельном направлению движения частицы, имеем (см. рис. 1 на стр. 68)

F

₂

=

eE

AB

AC^3

=

eEVt

(V^2t^2+p^2)^3/2

=

m(t)

.

Для энергии, передаваемой электрону при столкновении, получаем таким же образом, как и раньше (учитывая, что m(t) — нечётная функция t),

Q

₂

=

m

2

^-

sin nz

(z)

dz

2

.

Подставляя выражение для (z), находим

Q

₂

=

e^2

2m

E^2V^2

^-

z sin nz dz

(V^2z^2+p^2)^3/2

,

или

Q

₂

=

2e^2E^2

mV^2p^2

g^2

np

V

,

где

g(x)

=-

1

2

^-

z sin xz

(z^2+1)^3/2

dz

=

x

2

^-

cos xz

(z^2+1)^1/2

=

f'(x)

;

здесь f(x) имеет тот же смысл, что и раньше.

Энергия движения электрона в направлении, перпендикулярном направлению движения частицы, всегда меньше для связанного электрона, чем для свободного. Это соотношение, однако, не справедливо для движения электрона в направлении движения частицы.

Для полной энергии, переданной электрону при столкновении, получаем

Q

=

Q

₁

+Q

₂

=

2e^2E^2

mV^2p^2

·P

np

V

,

(2)

где P(x)=f^2(x)+g^2(x) равно 1 при x=0 и при больших x очень быстро убывает с ростом x. Заметим, что при x=0 P'(x)=0.

Рассмотрим теперь прохождение частицы через вещество. Пусть N —число атомов в единице объёма, и каждый атом содержит r электронов, частота собственных колебаний которых равна n. Пусть, далее, a константа, много большая , но малая по сравнению с V/n (см. стр. 67). Тогда для полной энергии dT, переданной электронам частицей, прошедшей путь dx, имеем

dT

=

Nr

_a

⁰

Q

₀

2p

dp

+

^a

Q

2p

dp

dx

.

C помощью формул (1) и (2) получаем отсюда

dT

=

4e^2E^2Nr

mV^2

_a

⁰

p dp

p^2+^2

+

^a

1

p

P

np

V

dp

dx

.

Пренебрегая величинами порядка (/a)^2 (см. выше), имеем

dT

=

4e^2E^2Nr

mV^2

ln

a

+

^an/V

1

z

P(z)

dz

dx

=

=

4e^2E^2Nr

mV^2

ln

a

-

ln

an

V

·

P

an

V

-

^an/V

ln z

·

P'(z)

dz

dx

.