Избранные научные труды

Если F известно, размеры и частота упомянутых орбит определяются просто из формул (1) и (2). Для кольца из n электронов, вращающегося вокруг ядра с зарядом +ne, имеем (ср. часть I, стр. 102)

F=N-s

_n

,

 где

s

_n

=

1

4

_s=n-1

^s=1

cosec

s

n

.

Значения s_n от n = 1 до n = 16 даны в таблице на стр. 112.

Мы показали (см. часть I, стр. 105), что для систем, состоящих из ядер и электронов, вращающихся вокруг них по круговым орбитам со скоростями, малыми по сравнению со скоростью света, суммарная кинетическая энергия электронов равна общему количеству энергии, испущенной при образовании системы из первоначального расположения, в котором частицы покоились и находились бесконечно далеко друг от друга. Если обозначить эту энергию через W, имеем

W

=

m

2

v^2

=

2^2e^2m

h^2

F^2

.

(3)

Если в соотношениях (1), (2) и (3) подставить значения e = 4,7·10^-10, e/m = 5,31·10^-17 и h = 6,5·10^-27, получим

a = 0,55·10

^-8

F

^-1

,

v = 2,1·10

⁸

F

= 6,2·10

¹⁵

F

²

,

W = 2,0·10

^-11

F

²

.

(4)

В первой части работы мы пренебрегли магнитными силами, возникающими при движении электронов; это означает, что предполагалась малая скорость частиц по сравнению со скоростью света. Приведённые выше расчёты показывают, что это осуществляется, если F мало по сравнению с 150. Как мы увидим, последнее условие выполняется для всех электронов в атомах элементов с небольшим атомным весом и для большей части электронов в атомах других элементов.

Если скорость электронов не мала по сравнению со скоростью света, то постоянство момента импульса уже не предопределяет постоянства отношения между энергией и частотой обращения. В этом случае на основе соображений части I без введения новых допущений нельзя определить расположение электронов в системе. Но дальнейшее рассмотрение показывает, что постоянство момента импульса всё-таки остаётся главным условием. Если применять это условие к скоростям, не малым по сравнению со скоростью света, то мы получим то же выражение для v что и в (1), с той лишь разницей, что величина m в выражениях для a и заменяется на m/1-(v^2/c^2), а в выражении для W — на

m·2

c^2

v^2

1-

1-

v^2

c^2

1/2

.

Как уже установлено в части I, основанный на обычной механике расчёт показывает, что кольцо электронов, вращающееся вокруг ядра, вообще неустойчиво при смещениях электронов в плоскости кольца. Чтобы избежать этой трудности, мы предположили, что обычные принципы механики столь же мало применимы при рассмотрении упомянутой проблемы, как и при рассмотрении механизма связывания электронов. Мы также предположили, что устойчивость относительно таких смещений обеспечена введением гипотезы универсального постоянства момента импульса электронов.

Как легко показать, последнее предположение включено в § 1 в условие устойчивости. Рассмотрим кольцо электронов, вращающееся вокруг ядра, и допустим, что система находится в динамическом равновесии, причём a₀ — радиус кольца, v₀ — скорость электронов, T₀ — общая кинетическая энергия и P₀ — потенциальная энергия. Как показана в части I (стр. 102), P₀ = -2T₀. Рассмотрим сначала такую конфигурацию системы, при которой под влиянием внешних сил электроны вращаются вокруг ядра с одинаковым моментом импульса в кольце радиуса a = a₀. В этом случае P = (1/)P₀ и вследствие одинаковости моментов импульса v = (1/)v₀ и T = (1/)^2T₀. Если использовать соотношение P₀ = -2T₀, то получим

P+T

=

1

P

₀

+

1

^2

T

₀

=

P

₀

+

T

₀

+

T

₀

1-

1

2

.

Мы видим, что общая энергия при новой конфигурации больше, чем при первоначальной. Согласно условию устойчивости § 1, система устойчива при рассмотренном смещении. В этой связи нужно отметить сделанное в части I предположение, что частота испускаемого или поглощаемого системой излучения не может определяться частотами колебаний электронов в плоскости орбит, как это вытекает из расчётов с помощью обычной механики. Напротив, мы предположили, что частота излучения определяется условием h = E, где — частота, h — постоянная Планка, E — разница в энергиях двух различных стационарных состояний системы.

Для исследования устойчивости электронного кольца, вращающегося вокруг ядра, относительно смещений электронов, перпендикулярных к плоскости кольца, рассмотрим расположение системы, при котором электроны смещены соответственно на z₁, z₂, …, z_n, и примем, что электроны под действием внешних сил вращаются по круговым орбитам вокруг оси системы в плоскостях, параллельных первоначальным плоскостям, с теми же радиусами и моментами импульса, как и раньше. Кинетическая энергия при смещении меняется; если пренебречь степенями z₁, z₂, …, z_n выше второй, то прирост потенциальной энергии имеет вид

1

2

e^2

a^3

N

(z)^2

-

1

32

e^2

a^3

cosec^3

(r-s)

n

(z

_r

-z

_s

)^2

,

где a — радиус кольца, Ne — заряд ядра, n — число электронов. Согласно условию устойчивости § 1, система будет устойчивой при рассматриваемых смещениях, если приведённое выше выражение положительно для произвольных значений z₁, z₂, …, z_n. Простым расчётом можно показать, что последнее требование эквивалентно условию

N > p

_n,0

-p

_n,m

,

(5)

где m — целое число (меньшее n), для которого

p

_n,k

=

1

8

_s=n-1