Избранные научные труды

^s=1

cos 2k

s

n

cosec^3

s

n

имеем наименьшее значение. Это условие идентично условию равновесия, выведенного на основе рассуждений обычной механики для смещений электронов перпендикулярно плоскости кольца ¹.

¹ Ср.: J. W. Nicholson. Month. Not. Roy. Astr. Soc., 1912, 72, 52.

Для наглядной иллюстрации представим себе, что рассматриваемые смещения вызваны внешними силами, действующими на электрон параллельно оси кольца. Если смещения происходят бесконечно медленно, то движение электронов в каждое мгновение происходит нормально первоначальной плоскости кольца; момент импульса каждого электрона относительно центра своей круговой орбиты, очевидно, равен первоначальному значению. Прирост потенциальной энергии системы будет равняться работе внешних сил, вызвавших смещения. С помощью таких рассуждений мы приходим к допущению, что в противоположность случаю колебаний в плоскости кольца обычная механика может применяться при расчёте колебаний электронов, перпендикулярных плоскости кольца. Это предположение подтверждается согласием с наблюдениями, выполненными Никольсоном в связи с его теорией о происхождении линий в спектрах солнечной короны и звёздных туманностей (см. часть I, стр. 89 и 104). Кроме того, позже будет показано, что это предположение согласуется и с опытами по дисперсии.

Значения s_n и p_n,0 - p_n,m от n = 1 до n = 16 даны в табл. 1.

Таблица 1

n

s_n

p_n,0 - p_n,m

n

s_n

p_n,0 - p_n,m

1

0

0

9

3,328

13,14

2

0,25

0,25

10

3,863

18,13

3

0,577

0,58

11

4,416

23,60

4

0,957

1,41

12

4,984

30,80

5

1,377

2,43

13

5,565

38,57

6

1,828

4,25

14

6,159

48,38

7

2,305

6,35

15

6,764

58,83

8

2,805

9,56

16

7,379

71,65

Из таблицы видно, что число электронов, которые могут вращаться вокруг ядра с зарядом Ne в одном кольце, очень медленно растет с увеличением N; для N = 20 наибольшее значение n = 10; для N = 40, n = 13; для N = 60, n = 15. Мы видим далее, что рой из n электронов не может вращаться вокруг ядра с зарядом ne в единственном кольце, если только n не меньше 8.

Выше мы предполагали, что электроны движутся под влиянием стационарной радиальной силы и что их орбиты в точности круговые. Первое условие не выполняется, если рассматриваемая система содержит несколько электронных колец, вращающихся с разными частотами. Если же расстояние между кольцами не мало по сравнению с их радиусами, а отношение частот не близко к единице, то отклонение орбиты от круговой очень мало. Тогда движение электронов почти идентично установленному из допущения, что, заряд электронов равномерно распределен по кольцу. Если отношение радиусов колец не близко к единице, то получаемые из этого допущения условия устойчивости можно считать достаточными.

В § 1 мы предположили, что электроны в атоме вращаются в коаксиальных кольцах. Расчёт показывает, что плоскости колец могут разделиться только в случае систем, содержащих большое число электронов; в системах, содержащих ограниченное число электронов, все кольца лежат в одной единственной плоскости, проходящей через ядро. Простоты ради мы будем рассматривать только последние.

Рассмотрим электрический заряд E равномерно распределённый по окружности радиуса a. В точке, расположенной на расстоянии z от плоскости и r от оси кольца, электростатический потенциал задаётся выражением

U

=

1

E

⁰

d

a^2 + r^2 + z^2 - 2ar cos

.

Если положить z = 0 и r/a = tg^2 и использовать обозначение

K

=

_/2

⁰

d

1 - sin^2 cos^2

,

то для радиальной силы, действующей на электрон в некоторой точке плоскости кольца, получим

e

U

r

=

Ee

r^2

Q

,

где

Q

=

2

sin

⁴

[

K(2)

-ctg ·

K'(2)

].

Соответствующая сила, перпендикулярная плоскости кольца, на расстоянии r от центра кольца на небольшом расстоянии z от его плоскости будет равна

e

U

r

=

Eez

r^3

R

,

где

R

=

2

sin

⁶

[

K(2)

 + tg(2)·

K'(2)

].

Краткая таблица функций Q и R дана на стр. 115.

Далее рассмотрим систему, содержащую некоторое число концентрических электронных колец, вращающихся в одной и той же плоскости вокруг ядра с зарядом Ne. Пусть радиусы колец будут a₁, a₂, …, а число электронов на различных кольцах — n₁, n₂, ….

Положив a_r/a_s = tg^2 _r,s, получим для радиальной силы, действующей на электрон в r-м кольце,

e²

a²_r

F

_r

,

где

F

_r

,

=

N - s -

n

_s

Q(

_r,s

)

.

Суммирование проводится по всем кольцам, за исключением рассматриваемого.

Если распределение электронов в различных кольцах известно, то по формуле (1) на стр. 109 с помощью вышеизложенного можно определить a₁, a₂, …. Расчёт можно провести путём последовательных приближений; при этом мы исходим из значений для величин и по ним вычисляем величины F, а затем вновь определяем значения по формуле (1), что даёт F_s/F_r = a_s/a_r = tg^2(_s,r) и т. д.