Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить

Хотя есть некоторые намеки на доказательства даже в табличках древнего Вавилона (таких как Плимптон 322) за 1800 до н. э., понятие доказательства возникло, видимо, только в Древней Греции. Самые ранние математические таблички содержали числа и элементарные вычисления. Из-за скудости текстов, дошедших до наших дней, мы не знаем, как это случилось, как кому-то пришло в голову, что некоторые из математических процедур требуют логического обоснования. И мы действительно не представляем, как возникло формальное понятие доказательства. «Республика» Платона уже содержит явное его описание. В «Физике» Аристотеля не просто обсуждаются доказательства, но изучаются тонкие различия в их методах. Многие древние греки, включая Евдокса, Теэтета, Фалеса, Евклида и Пифагора, либо использовали доказательства, либо ссылались на них. Протагор был софистом, работы которого признавал сам Платон. Его «Антилогии» были искусно сплетенными строгими рассуждениями, которые можно считать ростками доказательств.

Считается, что Евклид был первым, кто систематически использовал точные определения, аксиомы, строгие правила логики, чтобы сформулировать и доказать каждое утверждение (т. е. каждую теорему). Формализм Евклида, как и его методология, стал образцом — и даже для наших современников — для установления математических фактов.

Интересно, что математическая формулировка факта — это самостоятельная сущность, обладающая собственной ценностью и значимостью. А доказательство — это средство общения. Создатель или первооткрыватель нового математического результата хочет, чтобы другие тоже его приняли и в него поверили. В естественных науках (химии, биологии или физике, например) для этого используется специальный метод — воспроизводимый эксперимент[2]. Для математика воспроизводимый эксперимент — это доказательство, которое может прочесть, понять и оценить другой человек.

Идея доказательства возникает в разных жизненных ситуациях, не только в математике. В суде юрист (адвокат или прокурор) должен установить истину с помощью принятых версий доказательств. Для криминального дела это означает «вне разумных сомнений», а для гражданского — что доводы одной стороны должны перевешивать доводы другой. К математическим доказательствам такое представление не приближается ни на йоту. В реальном окружающем нас мире нет формальных определений или аксиом; нет смысла устанавливать факты путем строгих интерпретаций. Адвокат использует, конечно же, логику. Скажем, «обвиняемый слеп и поэтому не мог вести машину в Каньон Топанга ночью 23 марта» или «обвиняемый неграмотен и поэтому не мог построить атомную бомбу, которая использовалась с целью…». Но главное орудие адвоката, конечно же, не логика, а факты. Адвокат приводит доводы, не допускающие разумных сомнений, собирая доказательства с решительным перевесом в пользу своего клиента.

В то же время в обычной, в повседневной речи тоже есть понятие доказательства, и оно тоже отличается от математического. Муж может сказать «Думаю, моя жена беременна», в то время как жена может это знать наверняка. Беременность — это не вневременный непреложный факт (вроде теоремы Пифагора), а факт «временный», который нарушится через несколько месяцев. Так что в этом контексте понятие истины отличается от того, что используется в математике, и методы проверки истинности тоже. В действительности здесь проявляется различие между знанием и уверенностью, которая никогда не играет формальной роли в математике.

В современном обществе «доказательств» для предъявления штрафа за превышение скорости нужно гораздо меньше, чем для обвинения в убийстве. Похоже, что еще меньше доказательств требуется для оправдания военных действий[3]. Широкая панорама мнений о современном понятии доказательства — в самых разных контекстах — представлена в [NCBI]. Говорят (см. [MCI]), что в некоторых областях математики (таких как топология малой размерности) доказательство можно пересказать на языке жестов.

Французский математик Жан Лере (1906–1998) так пишет о системе ценностей в современной математике.