Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить

• Одним из грандиозных предприятий математики XX в. стала классификация конечных простых групп. Даниэль Горенштейн из Ратгерского университета дирижировал этим процессом. Сейчас считается, что эта задача решена. Замечательно здесь то, что одна теорема потребовала усилий многих сотен ученых. «Доказательство» здесь — собрание сотен статей и работ, охватывающих период более 150 лет. Сейчас оно включает более 10000 страниц, и его до сих пор подчищают и упорядочивают. Окончательная «запись доказательства» займет несколько томов, и нет никакой уверенности в том, что работающие сейчас эксперты проживут достаточно долго, чтобы увидеть результат своих усилий.

• Решение Томаса Хейлса задачи Кеплера об упаковке сфер во многом (как и решение задачи о четырех красках) опирается на компьютерные вычисления. Особенно интересно, что его доказательство вытеснило более раннее доказательство Ву Йи Хсианга, опирающееся на сферическую тригонометрию, а не на компьютерные вычисления. Хейлс допускает, что его «доказательство» нельзя проверить традиционным путем. Он организовал группу FlySpeck энтузиастов со всего света, чтобы построить процедуру проверки своих компьютерных аргументов.

• Про доказательство гипотезы Пуанкаре, построенное Григорием Перельманом, и про программу геометризации Тёрстона слышали все. В 2003 г. Перельман написал три статьи о том, как использовать теорию Ричарда Гамильтона о потоках Риччи, чтобы осуществить идею Тёрстона (она называется «программой геометризации») разбить трехмерное многообразие на части. У этого результата есть одно важное следствие — доказательство знаменитой гипотезы Пуанкаре. Хотя статьи Перельмана не совсем строгие и исчерпывающие, они исполнены воображения и глубоких геометрических идей. Эта работа подтолкнула бурную деятельность и спекуляции о том, как программу можно завершить и оценить. Джон Лотт и Брюс Кляйнер (из Мичиганского университета), Ганг Тиан (Принстон) и Джон Морган (Колумбия) предприняли огромные усилия, чтобы завершить программу Гамильтона—Перельмана, построить и записать настоящее доказательство, которое другие смогут изучить и проверить.

• Программа геометризации Тёрстона — это отдельная история. В начале 1980-х гг. он объявил, что получил результат о структуре трехмерных многообразий, по крайней мере, для некоторых важных подклассов многообразий, и знает, как его доказать. Классическая гипотеза Пуанкаре оказалась бы простым следствием из программы геометризации Тёрстона. Он написал множество работ [THU3] (объемом в целую книгу), а математический факультет Принстонского университета сделал их доступными по всему миру. Эти работы под общим названием The Geometry and Topology of Three-Manifolds [THU4] написаны увлекательно и захватывающе. Но написаны они довольно неформальным стилем, хотя содержат глубокую качественную математику. Их трудно понять и оценить.

Цель этой книги — изучить все идеи и направления, представленные выше. По дороге мы познакомим читателя с пластом культуры: кто такие математики, что их заботит и чем они занимаются. Мы расскажем, почему математика важна и почему так сильно влияет на сегодняшний мир. Мы надеемся, что читатель не только познакомится, но и будет очарован этой древней прославленной наукой и почувствует, как много еще предстоит узнать.

Декабрь, 2010

Стивен Кранц,

Сент-Луис, Миссури

Благодарности

Очень приятно быть вхожим в писательскую среду — всегда можешь получить толковые замечания и помощь от коллег. Я благодарен Джессу Алама, Давиду Бейли, Джону Блэнду, Джонатану Боруайну, Роберту Беркелю, Давиду Коллинзу, Брайану Дэйвису, Кейту Девлину, Эду Данну, Майклу Иствуду, Джерри Фолланду, Гопалкришне Гадияру, Джереми Грэю, Джеффу Лагариасу, Барри Мазуру, Роберту Стричарцу, Эрику Тресслеру, Джеймсу Уолкеру, Рассу Вудруфу и Дорону Цайлбергеру за то, что они внимательно прочитали черновой вариант моей книги и поделились своими знаниями и мудростью. Роберт Беркель и Давид Коллинз вычитали рукопись особенно тщательно и внесли много полезных идей и исправлений. Большое спасибо Эду Данну из Американского математического общества — он предложил тему книги и вдохновил меня на ее написание. И конечно же, я благодарю Сидни Харриса за любезное разрешение использовать его рисунки.

Анна Костант — редактор из издательства Birkhäuser/Springer — как всегда, была очень активна и помогала мне во всем. Это она предложила написать книгу для серии Copernicus, давала замечательные советы и поддерживала в ходе работы над книгой. Другой редактор, Эдвин Бешлер, помог мне отточить и оживить стиль. Давид Крамер — неизменно превосходный корректор. Я горжусь результатом нашей работы. И наконец, я благодарен Рэнди Руден за ее помощь и поддержку во время работы над книгой.

Глава 1. Что такое доказательство и с чем его едят?

The proof of the pudding is in the eating[5].

— Мигель Сервантес