Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить

Итак, что же такое доказательство? Если подходить эвристически, доказательство — это такой инструмент риторики, который используется, чтобы один человек убедил другого, что некоторое математическое утверждение верно. А как это можно сделать? Поразмыслив, можно предположить, что естественный способ доказать, что что-то есть новое (назовем его B) — это как-то связать его с чем-то старым (назовем его A), про которое уже известно, что оно истинно. Таким образом, возникает понятие вывода нового результата из старого (см. рис. 1.4). И тогда возникает вопрос: «Как была установлена истинность старого результата?» Если повторять эту процедуру, то мы придем к последовательности логических выводов, вроде изображенной на рис. 1.5. Неизбежно придется поинтересоваться, где же начало этой цепочки, — а это фундаментальный вопрос.

 Рис. 1.4. Логический вывод

Рис. 1.5. Последовательность логических выводов

Мы не можем сказать, что у такого пути рассуждений нет начала, что он тянется бесконечно далеко к туманному началу времен. Ведь в таком случае становятся безосновательными наши размышления о том, каким следует быть доказательству. Мы пытаемся подтвердить новые математические факты, исходя из старых. А если вывод уходит бесконечно далеко в прошлое, мы не можем даже ухватить, на чем изначально обоснована наша логика.

Эти вопросы заставили античных математиков размышлять о природе математического доказательства. Фалес (640–546 до н. э.), Евдокс (408–355 до н. э.) и Теэтет Афинский (417–369 до н. э.) формулировали теоремы как формальные объявления некоторых идей, которые они хотели провозгласить как факты или истины. Считается, что Фалес доказал некоторые из этих теорем в геометрии (а позднее они были включены в более широкую систему Евклидом). Теорема — это формальное провозглашение математиком некоторого факта или истины. Но Евдоксу не удалось найти способ доказать свои теоремы. Его труды имели явный практический уклон, и он слишком увлекался вычислениями.

Впервые нынешний способ размышлять о математике был формализован Евклидом Александрийским. Вначале он дал определения, затем аксиомы, а потом уже теоремы — именно в таком порядке. Нельзя не согласиться, что Евклид создал парадигму, которой следовали все математики на протяжении 2300 лет. Это была правильная математика. Чтобы справиться с проблемой бесконечных логических цепочек, мы, следуя Евклиду, начнем с того, что примем набор определений и набор аксиом.

Что такое определение? Определение объясняет смысл какого-то термина, но даже с таким простым подходом связаны аналитические проблемы. Взять хотя бы первое определение, которое мы собираемся сформулировать. Предположим, что мы хотим определить прямоугольник. Это будет первый термин в нашей математической системе. Какие слова мы можем использовать? Скажем, мы определяем прямоугольник через точки, прямые и плоскости. Неизбежно встают вопросы: что такое точка? что такое прямая? что такое плоскость?

Рис. 1.6. Урок чтения формул в Музее Математики (© Sidney Harris, www.sciencecartoonsplus.com)

Ясно, что наше первое определение (определения) должно быть сформулировано в терминах общепринятых слов, которые не требуют дальнейших объяснений. Аристотель (384–322 до н. э.) настаивал на том, что определение должно описывать определяемое понятие в терминах уже известных понятий. Часто это вызывает заметные трудности. Например, Евклид определял точку как нечто, не имеющее частей. При этом, чтобы объяснить точное математическое понятие «точка», ему пришлось использовать нематематические слова, относящиеся к повседневной речи.[7] Как только «точка» определена, этот термин можно использовать в других определениях. А затем можно пользоваться повседневным языком, не требующим дальнейших объяснений. Так мы строим систему определений.

Определения дают нам язык для занятий математикой. Мы формулируем наши результаты, или теоремы, пользуясь словами, введенными в определениях. Хотя нет, к теоремам мы еще не готовы — мы еще не установили краеугольный камень, на котором будет основана наша теория вывода. Нам нужны аксиомы.

Что такое аксиома? Аксиома[8] (или постулат[9]) — это математическое выражение факта, который считается самоочевидным, сформулированное с использованием терминологии, введенной в принятых определениях. Аксиомы не доказывают. Их считают данными, такими очевидными и заслуживающими доверия, что никаких доказательств для них не требуется.