Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить

Аксиомы можно использовать, чтобы объяснять основания. Это идеи в основании предмета исследования; их содержание считается ясным или самоочевидным. Подчеркнем еще раз: проверить утверждения аксиом нельзя. Они даются для удовольствия читателя; подразумевается, что они будут использованы далее для доказательства математических результатов. Одна из самых известных аксиом во всей математике — постулат о параллельных Евклида. Этот постулат (в формулировке Плейфэра[10]) утверждает, что если P — точка, а l — прямая, не проходящая через эту точку, то существует единственная прямая l′, проходящая через точку P и параллельная  l (рис. 1.7). Постулат о параллельных стал частью евклидовой геометрии 2300 лет назад. И больше двух тысяч лет было неизвестно, действительно ли это утверждение следовало объявить аксиомой. Нельзя ли его вывести из других четырех аксиом геометрии (подробный разбор аксиом Евклида проведен в разд. 2.2). Были предприняты невероятные усилия, чтобы построить такое доказательство, было сделано много знаменитых ошибок (историю этого вопроса см. в [GRE]). Но в 1820-х гг. Янош Бойяи и Николай Лобачевский установили, что постулат о параллельных доказать нельзя, и тому есть поразительная причина — существуют модели геометрии, в которых все остальные аксиомы Евклида выполняются, однако постулат о параллельных неверен. Так что этот постулат — одна из аксиом нашей самой привычной геометрии.

Рис. 1.7. Постулат о параллельных

Вообще говоря, в любой области математики принято начинать с краткого перечисления определений и краткого списка аксиом. После того как они сформулированы, приняты и поняты, можно формулировать и доказывать теоремы. Доказательство может принимать много разных форм. Самая традиционная форма доказательства — точная последовательность утверждений, связанных между собой строгими правилами логики. Однако цель этой книги — выяснить и обсудить, какие еще формы может принимать доказательство. В наше время доказательство может (часто так и происходит) принимать традиционную форму, восходящую к Евклиду. Но приемов доказательства существует много: прямое доказательство, по индукции, перечисления, исчерпывания, по случаям, от противного — и это далеко не все. Доказательство может включать компьютерное моделирование. Или заключаться в построении физической модели. Или состоять из алгебраических вычислений с использованием программных пакетов Mathematica, Maple или MATLAB. Доказательство может сочетать различные перечисленные приемы.

Одна из основных задач этой книги — представить и изучить различные формы математического доказательства и роль, которую они играют в современной математике. Несмотря на многочисленные изменения и сдвиги в подходах к технике доказательства, эта фундаментальная методология остается краеугольным камнем в инфраструктуре математической мысли. Как уже было сказано, ключевая часть любого доказательства — какую форму оно бы ни принимало — логика. Но что такое логика? Это мы обсудим в следующем разделе.

Философ Карл Поппер полагал [POP], что ничего нельзя знать с абсолютной уверенностью. Он даже ввел доктрину фальсификационизма. В ее рамках научной может считаться только такая теория, для которой существует методологическая возможность ее опровержения.

Традиционная математика отвергает эту точку зрения. Считается, что математические утверждения, доказанные в соответствии с принятыми канонами математического вывода, неоспоримо верны. И такими останутся. Эта перманентная природа математики — уникальная черта, выделяющая ее из всех интеллектуальных деяний человека.

В статье [YEH] имеется поучительное обсуждение различных видов доказательства и их роли в нашем мышлении. Что же такое доказательство, почему оно важно и почему нам нужно продолжать строить доказательства?

1.3 Как работает математик?

Мы все более-менее представляем себе работу мясника, врача или каменщика — мы видели, как эти люди практикуют свое ремесло. Нет сомнений или тайн относительно того, чем они занимаются.

С математиками все не так. Они могут работать без свидетелей и часто предпочитают уединение. Многие математики сидят в своих офисах или дома и неслышно размышляют. У одних есть любимые предметы, которыми они играют или манипулируют. Другие рисуют каракули. У кого-то есть дартс. Например, обладатель филдсовской медали Пол Дж. Коэн (1924–2007) частенько играл в дартс, представляя себе, что кидает дротики в своего брата (против которого его настраивали родители, воспитывая таким образом соревновательность в характере).