Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить

У некоторых математиков совершенно непредсказуемые и удивительные способы заниматься своим делом. Математик и физик Ричард Фейнман (1918–1988) любил размышлять о физике в стрип-клубе недалеко от Калтеха. Он бывал там каждый вечер. Когда у стрип-клуба возникли неприятности с законом, единственным уважаемым завсегдатаем (а среди них были доктора, адвокаты и даже священники), который не постеснялся свидетельствовать в пользу клуба, оказался Ричард Фейнман!

Лауреат Нобелевской премии по физике Стивен Вайнберг (р. 1933) работал над своими космологическими теориями во время просмотра телевизионных мыльных опер. Он абсолютно не мог обходиться без «As the World Turns», но у него были и другие любимые сериалы.

Хотя мы часто воображаем, что математик просто сидит и думает, в действительности все не так. Математики гуляют, играют в настольный теннис, поднимают тяжести, медитируют, разговаривают, читают лекции, участвуют в совещаниях и спорят. Они показывают свои незаконченные доказательства недоделанных утверждений в надежде получить помощь и довести результат до настоящей теоремы. Они прорабатывают идеи со своими студентами. Они ведут семинары, делают записи, публикуют планы исследований. Они ездят на конференции и разбрасываются идеями. Они слушают лекции[11] коллег, читают и рыщут в Интернете. Они экспериментируют и вычисляют. Одни математики строят замысловатые компьютерные модели, а другие — физические. Мой учитель Фред Альмгрен любил окунать изогнутую проволоку в мыльный раствор и рассматривать, какие получаются мыльные пузыри. По-моему, годится все, что срабатывает. Если ты достигаешь цели, на самом деле не так важно, как ты туда добрался. 

1.4 Основания логики

В наше время математическая логика имеет собственную ценность. Это развитая ветвь математики, как геометрия, дифференциальные уравнения или алгебра. Но для практикующих математиков логика — это краткий и доступный набор правил, которым подчинена жизнь.

Отец той логики, которую мы знаем сегодня — Аристотель (384–322 до н. э.). Его труд «Органон» заложил фундамент того, чем логика должна быть. Здесь мы рассмотрим некоторые из положений Аристотеля.

 Рис. 1.8. «Это прекрасное доказательство, однако ему не хватает теплоты и чувственности» (© Sidney Harris, www.sciencecartoonsplus.com)

1.4.1 Закон исключенного третьего

Одно из правил логики Аристотеля заключается в том, что каждое разумное утверждение, ясное и непротиворечивое, должно быть либо истинным, либо ложным. Никакое утверждение не может быть чем-то «средним» или «с нерешенным статусом». Так, утверждение

Если на Марсе есть жизнь, то рыбы летают

истинно или ложно. Это утверждение может показаться легкомысленным или глупым. Нет никакой возможности проверить его, поскольку мы не знаем (и в ближайшем будущем так и не узнаем), есть ли жизнь на Марсе. Но у этого утверждения есть ясный смысл, так что оно должно быть либо истинным, либо ложным. Известно, что рыбы не летают[12]. Но истинность или ложность изучаемого утверждения мы установить не можем, так как не знаем, есть ли жизнь на Марсе.

Вы можете подумать: «Профессор Кранц, ваш анализ некорректен. Данному утверждению следует присвоить истинностное значение ’не решено’. Мы не знаем ничего про жизнь на Марсе, поэтому не можем определить, истинно ли утверждение. Возможно, через пару столетий что-нибудь прояснится, и нам удастся придать какое-то истинностное значение данному утверждению, но сейчас это сделать невозможно. Пока мы можем ограничиться только ярлыком ’не решено’».

Это интересное рассуждение, но в математике мы судим не с этой позиции. В математике мы считаем, что Создателю известно все — Он знает, есть ли жизнь на Марсе — и поэтому Ему, конечно, известно, истинно ли данное утверждение или ложно. То, что данный факт неизвестен нам, — лишь печальный артефакт нашей цивилизации. Но это не меняет основополагающего факта — утверждение либо истинно, либо ложно. Точка.

Для нас не так важно, что существуют версии логики, в которых допускаются функции истинности, принимающие много значений. В таких версиях утверждению может соответствовать не только одно из двух истинностных значений («истина» или «ложь»), допустимы и другие значения. Например, утверждение «Барак Обама — президент США» истинно в этот момент, когда я создаю данный текст, но оно не будет оставаться истинным вечно. Так что мы можем ввести специальное истинностное значение, которое будет фиксировать преходящую истину. В книге [KRA4] обсуждается многозначная логика. Но традиционно в математике используются только два истинностных значения: истина и ложь. Традиционная математика отвергает положение о том, что осмысленное утверждение может иметь нерешенный или преходящий истинностный статус. 

1.4.2 Модус понендо поненс и его друзья