Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить

В этом месте мы хотели бы совершить с читателем краткий экскурс в терминологию и методологию математической логики. Это один из способов понять, как мыслят математики.

Название «модус понендо поненс»[13] обычно применяют к одному из самых фундаментальных правил логического вывода. Оно означает: если нам известно, что из A следует B, и если нам известно, что имеет место A, то мы можем сделать вывод B. Обычно это обозначают следующим образом:

(здесь мы используем стандартные обозначения: означает «следует», а означает «и»).

Мы часто пользуемся этим правилом вывода в повседневной жизни. К сожалению, нередко при этом допускаются ошибки. Вы никогда не слышали рассуждений вроде следующего?

• Все рок-звезды завтракают.

• Мой уважаемый оппонент завтракает.

• Поэтому мой уважаемый оппонент — рок-звезда.

Вы можете смеяться, но такой тип рассуждений частенько попадается в выпусках новостей, газетах и фейсбуке. В качестве примера давайте проанализируем это рассуждение.

Пусть[14]

Теперь приведенное рассуждение можно изобразить так:

Теперь ясно, что модус понендо поненс использовался неверно: из и B был сделан вывод A .

Рис. 1.9. «Все это, чтобы получить 6?», «6? Большое дело…», «Что хорошего в числе 6?» (© Sidney Harris, www.sciencecartoonsplus.com)

Это довольно распространенная ошибка — путают обратное утверждение с контрапозицией. Давайте обсудим этот вопрос. Для данной импликации обратной является импликация , а контрапозицией — , знак означает «не». Слово «обратная» можно встретить в повседневной речи, но «контрапозиция» — почти никогда, так что эти понятия требуют обсуждения.

Рассмотрим такое утверждение:

У каждой здоровой лошади четыре ноги.

Для начала его полезно упростить:

У здоровой лошади четыре ноги.

Если мы введем обозначения

то наше утверждение принимает вид

Обратное утверждение здесь —

т. е.

Объект с четырьмя ногами — здоровая лошадь.

Нетрудно видеть, что обратное утверждение построено на основе исходного утверждения о том, что у каждой здоровой лошади четыре ноги. Однако в то время, как исходное утверждение истинно, обратное ему — ложно. Вообще говоря, неверно, что нечто четырехногое — именно здоровая лошадь. Например, у многих столов по четыре ножки, однако стол не есть здоровая лошадь. И овца тоже.

С контрапозицией все иначе. В нашем случае контрапозиция

означает, что если нечто не обладает четырьмя ногами, то не является здоровой лошадью.

Это утверждение отличается от исходного, однако является верным. Если мне повстречается объект, у которого нет четырех ног, я могу быть уверен, что это не лошадь в добром здравии, ведь у здоровой лошади должно быть четыре ноги. Поразмыслив, можно понять, что контрапозиция утверждает ровно то же самое, что исходное утверждение, просто несколько иными словами.

На самом деле контрапозиция некоторой импликации всегда логически эквивалентна самой исходной импликации, а вот про обратное утверждение этого сказать нельзя.

Вернемся к обсуждению того, следует ли называть нашего уважаемого оппонента рок-звездой. Мы начали с того, что из и B мы сделали вывод A. Таким образом, мы неправильно истолковали импликацию как . Другими словами, мы неверно интерпретировали исходную импликацию как обратную ей. Правильно было бы понимать исходную импликацию как , поскольку контрапозиция логически эквивалентна исходному утверждению. Но из и B вместе взятых ничего не следует.

Рис. 1.10. «Лейбниц, Буль и Гёдель работали с логикой. Я работаю с логикой. Я — Лейбниц, Буль и Гёдель». (© Sidney Harris, www.sciencecartoonsplus.com)

Правило модус толлендо толленс[15] на самом деле не что иное, как переформулировка правила модус понендо поненс. Оно гласит:

Если (() и ), то .

После всех наших обсуждений модус толлендо толленс понять несложно. Утверждению эквивалентна его контрапозиция . А если к тому же мы имеем утверждение , то (согласно модус понендо поненс!) можем вывести утверждение . А именно в этом и заключается модус толлендо толленс.

Для краткости принято вместо модус понендо поненс говорить модус поненс, а вместо модус толлендо толленс— модус толленс.

1.5 Из чего же сделано доказательство?

Большинство шагов математического доказательства — это применение правил модус поненс или модус толленс. Здесь мы, конечно, упрощаем, поскольку существует большое число техник, развитых в последние два столетия (некоторые из них подробно обсуждаются в гл. 2). Некоторые из этих методов перечислены в разд. 1.2. Все они основаны на модус понендо поненс.

Группы